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Calcule.

∫ 4 x + 1 x 2 + 6 x + 12 d x

Passo 1

Vamos analisar o denominador, ele é um fator linear com um fator irredutível do 2 º grau, vamos manipular um pouco a expressão, vamos completando o quadrado.

A expressão x + 3 2 = x 2 + 6 x + 9 é bem parecida com a que temos, então vamos fazer assim:

x 2 + 6 x + 12 = x 2 + 6 x + 9 + 3 = x + 3 2 + 3

Substituindo:

∫ 4 x + 1 x 2 + 6 x + 12 d x = ∫ 4 x + 1 x + 3 2 + 3 d x

Agora vamos usar a Regra da Substituição:

v = x + 3 → x = v - 3

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

d v = 1 + 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ 4 x + 1 x + 3 2 + 3 d x = ∫ 4 v - 3 + 1 v 2 + 3 d v = ∫ 4 v - 12 + 1 v 2 + 3 d v = ∫ 4 v - 1 1 v 2 + 3 d v = ∫ 4 v v 2 + 3 - 1 1 v 2 + 3 d v = ∫ 4 v v 2 + 3 d v + ∫ - 11 v 2 + 3 d v

Vamos calcular as duas separadamente.

Passo 2

Vamos usar a regra da substituição na primeira integral:

t = v 2 + 3

d t = 2 v + 0 d v = 2 v d v

Assim:

∫ 4 v v 2 + 3 d v = ∫ 4 v v 2 + 3 d v = ∫ 2 t d t

Vamos achar as primitivas da função usando essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

∫ 2 t d t = 2 ∫ 1 t d t = 2 ln ⁡ t + C

Passo 3

Com a segunda vamos achar as primitivas da função usando essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x 2 + a 2 d x = 1 a arctg ⁡ x a + C

Aplicando:

∫ - 11 v 2 + 3 d v = - 11 ∫ 1 v 2 + 3 2 d v = - 11 ⋅ 1 3 ⋅ arctg ⁡ v 3 + C = - 1 1 3 arctg ⁡ v 3 + C

Passo 4

Agora é só juntar tudo:

∫ 4 x + 1 x 2 + 6 x + 12 d x = ∫ 4 v v 2 + 3 d v + ∫ - 11 v 2 + 3 d v = 2 ln ⁡ t - 11 3 arctg ⁡ v 3 + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ 4 x + 1 x 2 + 6 x + 12 d x = 2 ln ⁡ t - 11 3 arctg ⁡ v 3 + C = 2 ln ⁡ v 2 + 3 - 11 3 arctg ⁡ x + 3 3 + C = 2 ln ⁡ x + 3 2 + 3 - 11 3 arctg ⁡ x + 3 3 + C

Resposta

∫ 4 x + 1 x 2 + 6 x + 12 d x = 2 ln ⁡ x + 3 2 + 3 - 11 3 arctg ⁡ x + 3 3 + C

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