Calcule.

∫ x + 2 x + 1 5 d x

Passo 1

Primeiro vamos fazer uma manipulação na expressão:

∫ x + 2 x + 1 5 d x = ∫ x x + 1 5 + 2 x + 1 5 d x = ∫ x x + 1 5 d x + ∫ 2 x + 1 5 d x

Vamos calcular as duas integrais separadamente, assim vai ficar melhor de visualizar.

Com a primeira:

∫ x x + 1 5 d x

Bem, vamos usar a Regra da Substituição, então mãos à obra! Agora vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vamos lá:

u = x + 1 → x = u - 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 + 0   d x → d u = d x

Fazendo a substituição:

∫ x x + 1 5 d x = ∫ u - 1 u 5 d u

Agora vamos separar os termos da expressão da integral:

∫ u - 1 u 5 d u = ∫ u u 5 - 1 u 5 d u = ∫ 1 u 4 - 1 u 5 d u

Passo 2

Pronto, agora é fácil achar as primitivas da função, usando essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Agora é só aplicar:

∫ 1 u 4 - 1 u 5 d u = ∫ u - 4 - u - 5 d u = u - 4 + 1 - 4 + 1 - u - 5 + 1 - 5 + 1 + C =

= u - 3 - 3 - u - 4 - 4 + C = - 1 3 u 3 + 1 4 u 4 + C

Passo 3

Com a segunda:

∫ 2 x + 1 5 d x

Aqui vamos usar também a Regra da Substituição, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vamos lá:

u = x + 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 + 0   d x → d u = d x

Fazendo a substituição:

∫ 2 x + 1 5 d x = 2 ∫ 1 x + 1 5 d x = 2 ∫ 1 u 5 d u

Pronto, agora é fácil achar as primitivas da função, usando essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Por último é só aplicar:

2 ∫ 1 u 5 d u = 2 u - 5 + 1 - 5 + 1 + C = 2 u - 4 - 4 + C = - 1 2 u 4 + C

Passo 4

Vamos agora juntar o resultado das duas integrais que achamos:

∫ x + 2 x + 1 5 d x = ∫ x x + 1 5 d x + ∫ 2 x + 1 5 d x = - 1 3 u 3 + 1 4 u 4 - 1 2 u 4 + C

= - 1 3 u 3 + 1 - 2 4 u 4 + C = - 1 3 u 3 - 1 4 u 4 + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você foi usando no começo:

∫ x + 2 x + 1 5 d x = - 1 3 u 3 - 1 4 u 4 + C = - 1 3 x + 1 3 - 1 4 x + 1 4 + C

Resposta

∫ x + 2 x + 1 5 d x = - 1 3 x + 1 3 - 1 4 x + 1 4 + C

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