Calcule

∫ 9 - 4 x 2 d x

Passo 1

A função dentro da integral é:

f x = 9 - 4 x 2

Não parece muito familiar?

Na verdade a resolução pra esse tipo de função é chamada substituição trigonométrica e funciona assim:

A gente pega um triângulo retângulo com ângulo θ como esse:

Agora imagine que a hipotenusa vale 3 , e um dos catetos vale 2 x , concorda comigo que o outro vai valer 9 - 4 x 2 ?

Então que substituição poderíamos fazer?

Bem, se dissermos que 9 - 4 x 2 3 = cos ⁡ θ então 2 x 3 = sin ⁡ θ → 2 d x = 3 cos ⁡ θ d θ

Assim podemos substituir a integral dessa forma:

∫ 9 - 4 x 2 d x = 3 2 × 3 ∫ cos ⁡ θ × c o s   θ d θ = 9 2 ∫ cos 2 ⁡ θ d θ

Ótimo! Agora podemos calcular essa integral de maneira mais fácil

Passo 2

Sabemos que cos 2 ⁡ θ = 1 2 1 + cos ⁡ 2 θ , então:

9 2 ∫ cos 2 ⁡ θ d θ = 9 2 ∫ 1 2 1 + cos ⁡ 2 θ d θ = 9 4 ∫ 1 + cos ⁡ 2 θ d θ

Se dissermos que u = 2 θ → d u = 2 d θ , assim:

9 4 ∫ 1 + cos ⁡ 2 θ d θ = 9 8 ∫ 1 + cos ⁡ u d u

Agora sabemos resolver:

9 8 ∫ 1 + cos ⁡ u d u = 9 8 u + sin ⁡ u

Voltando pra variável θ :

9 8 u + sin ⁡ u = 9 8 2 θ + sin ⁡ 2 θ = 9 4 θ + 9 8 sin ⁡ 2 θ

Passo 3

Agora precisamos voltar pra variável x , pra isso vamor lembrar que:

9 - 4 x 2 3 = cos ⁡ θ   e   2 x 3 = sin ⁡ θ → arcsin ⁡ 2 x 3 = θ

E que:

sin ⁡ 2 θ = 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ

Assim:

9 4 θ + 9 8 sin ⁡ 2 θ = 9 4 arcsin ⁡ 2 x 3 + 9 8 2 3 × 2 x 3 × 9 - 4 x 2

9 4 θ + 9 8 sin ⁡ 2 θ = 9 4 arcsin ⁡ 2 x 3 + 1 2 x 9 - 4 x 2

Temos, então:

∫ 9 - 4 x 2 d x = 9 4 arcsin ⁡ 2 x 3 + 1 2 x 9 - 4 x 2

Lembrando sempre da constante:

∫ 9 - 4 x 2 d x = 9 4 arcsin ⁡ 2 x 3 + 1 2 x 9 - 4 x 2 + k

Resposta

∫ 9 - 4 x 2 d x = 9 4 arcsin ⁡ 2 x 3 + 1 2 x 9 - 4 x 2 + k

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