Enunciado

Calcule.

int (x^3 + 1)/(x^3 - x^2 - 2 x) d x

Passo 1

Para calcular essa integral vamos usar a técnica por Frações Parciais, ou seja, vamos expressar a função racional como uma soma de frações parciais, entretanto aqui o grau do numerador não é menor que o do denominador, vamos então dividir os dois:

Temos então que:

x^3 + 1 = (x^3 - x^2 - 2 x) * 1 + x^2 + 2 x + 1

Vamos dividir tudo por x^3 - x^2 - 2 x :

(x^3 + 1)/(x^3 - x^2 - 2 x) = ((x^3 - x^2 - 2 x) * 1)/(x^3 - x^2 - 2 x) + (x^2 + 2 x + 1)/(x^3 - x^2 - 2 x) ->

-> (x^3 + 1)/(x^3 - x^2 - 2 x) = 1 + (x^2 + 2 x + 1)/(x^3 - x^2 - 2 x)

Vamos substituir na integral:

int (x^3 + 1)/(x^3 - x^2 - 2 x) d x = int 1 + (x^2 + 2 x + 1)/(x^3 - x^2 - 2 x) d x = int 1 + (x^2 + 2 x + 1)/(x (x^2 - x - 2)) d x

Agora vamos achar as raízes de x^2 - x - 2 usando Bhaskara:

x = (- b +- sqrt(b^2 - 4 a c))/(2 a) = (- (- 1) +- sqrt((- 1)^2 - 4 * 1 * (- 2)))/(2 * 1) = (+ 1 +- sqrt(9))/(2) = (1 +- 3)/(2)

x = (1 + 3)/(2) = (4)/(2) = 2

x = (1 - 3)/(2) = - (2)/(2) = - 1

Assim ficamos com:

x^3 - x^2 - 2 x = x (x^2 - x - 2) = x (x - 2) (x + 1)

Substituindo na integral:

int 1 + (x^2 + 2 x + 1)/(x (x^2 - x - 2)) d x = int 1 + (x^2 + 2 x + 1)/(x (x - 2) (x + 1)) d x

Passo 2

Vamos analisar o denominador, ele é um produto de fatores lineares distintos, vamos então usar a seguinte fórmula:

(x^2 + 2 x + 1)/(x (x - 2) (x + 1)) = (A)/(x) + (B)/(x - 2) + (C)/(x + 1)

Vamos achar os valores de A , B e C , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores x (x - 2) (x + 1) :

x^2 + 2 x + 1 = A (x - 2) (x + 1) + B x (x + 1) + C x (x - 2)

Agora vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

x^2 + 2 x + 1 = A (x - 2) (x + 1) + B x (x + 1) + C x (x - 2)

x^2 + 2 x + 1 = A (x^2 + x - 2 x - 2) + B x^2 + B x + C x^2 - 2 C x

x^2 + 2 x + 1 = A (x^2 - x - 2) + B x^2 + B x + C x^2 - 2 C x

x^2 + 2 x + 1 = A x^2 - A x - 2 A + B x^2 + B x + C x^2 - 2 C x

x^2 + 2 x + 1 = x^2 (A + B + C) + x (- A + B - 2 C) + (- 2 A)

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de x^2 e x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

{[[A + B + C = 1],[- A + B - 2 C = 2],[- 2 A = 1 -> A = - (1)/(2)]])

Passo 3

Vamos somar as duas primeiras equações:

2 B - C = 3 -> C = 2 B - 3

Vamos substituir o valor de A e C = 2 B - 3 na primeira:

A + B + C = 1 -> - (1)/(2) + B + 2 B - 3 = 1 -> 3 B = 4 + (1)/(2) -> 3 B = (9)/(2) -> B = (3)/(2)

Substituindo o valor de B achamos C :

C = 2 B - 3 = 2 * (3)/(2) - 3 = 3 - 3 = 0

Pronto, achamos os valores de A , B e C , vamos agora substituir de volta na integral:

int 1 + (x^2 + 2 x + 1)/(x (x - 2) (x + 1)) d x = int 1 + (- (1)/(2))/(x) + ((3)/(2))/(x - 2) + (0)/(x + 1) d x = int 1 - (1)/(2 x) + (3)/(2 (x - 2)) d x = int 1 d x + int - (1)/(2 x) d x + int (3)/(2 (x - 2)) d x

Passo 4

Pronto, agora vamos resolver as três integrais separadamente.

Na primeira é fácil achar as primitivas da função, usando essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int k d x = k x + C

Agora é só aplicar:

int 1 d x = x + C

Passo 5

Com a segunda é fácil achar as primitivas da função, usando essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Agora é só aplicar:

int - (1)/(2 x) d x = - (1)/(2) int (1)/(x) d x = - (1)/(2) ln |x| + C

Passo 6

Com a última vamos usar a Regra da Substituição:

t = x - 2

Vamos agora achar diferencial de t , derivando:

d t = 1 + 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

int (3)/(2 (x - 2)) d x = (3)/(2) int (1)/((x - 2)) d x = (3)/(2) int (1)/(t) d t

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Aplicando:

(3)/(2) int (1)/(t) d t = (3)/(2) ln |t| + C

Passo 7

Agora é só juntar tudo:

int (x^3 + 1)/(x^3 - x^2 - 2 x) d x = int 1 d x + int - (1)/(2 x) d x + int (3)/(2 (x - 2)) d x = x - (1)/(2) ln |x| + (3)/(2) ln |t| + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int (x^3 + 1)/(x^3 - x^2 - 2 x) d x = x - (1)/(2) ln |x| + (3)/(2) ln |t| + C = x - (1)/(2) ln |x| + (3)/(2) ln |x - 2| + C

Resposta

int (x^3 + 1)/(x^3 - x^2 - 2 x) d x = x - (1)/(2) ln |x| + (3)/(2) ln |x - 2| + C

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