Calcule

∫ x 2 1 - x 2 d x

Passo 1

A função dentro da integral é:

f x = 1 - x 2

Não parece muito familiar?

Na verdade a resolução pra esse tipo de função é chamada substituição trigonométrica e funciona assim:

A gente pega um triângulo retângulo com ângulo θ como esse:

Agora imagine que a hipotenusa vale 2, e um dos catetos vale x , concorda comigo que o outro vai valer 1 - x 2 ?

Então que substituição poderíamos fazer?

Bem, se dissermos que 1 - x 2 1 = cos ⁡ θ então x 1 = sin ⁡ θ → d x = cos ⁡ θ d θ

Assim podemos substituir a integral dessa forma:

∫ x 2 1 - x 2 d x = ∫ sin 2 ⁡ θ   cos ⁡ θ × c o s   θ d θ = ∫ sin 2 ⁡ θ d θ

Ótimo! Agora podemos calcular essa integral de maneira mais fácil

Passo 2

Podemos, agora, integrar:

∫ sin 2 ⁡ θ d θ

Lembrando que:

sin 2 ⁡ θ = 1 2 1 - cos ⁡ 2 θ

∫ sin 2 ⁡ θ d θ = ∫ 1 2 1 - cos ⁡ 2 θ d θ = 1 2 ∫ 1 - cos ⁡ 2 θ d θ

Se fizermos a substituição:

u = 2 θ → d u = 2 d θ

Então:

1 2 ∫ 1 - cos ⁡ 2 θ d θ = 1 2 ∫ 1 2 1 - cos ⁡ u d u = 1 4 ∫ 1 - cos ⁡ u d u = 1 4 u - sin ⁡ u + k

Voltando pra variável θ :

1 4 u - sin ⁡ u + k = 1 4 2 θ - sin ⁡ 2 θ + k = θ 2 - sin ⁡ 2 θ 4 + k

Passo 3

Agora precisamos voltar pra variável x , pra isso vamor lembrar que:

  1 - x 2 = cos ⁡ θ   e   x = sin ⁡ θ → arcsin ⁡ x = θ

E que:

sin ⁡ 2 θ = 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ

Assim:

θ 2 - sin ⁡ 2 θ 4 + k = θ 2 - 1 4 × 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ + k

θ 2 - 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ + k = arcsin ⁡ x 2 - x 2 1 - x 2 + k

Temos, então:

∫ 1 4 - x 2 d x = arcsin ⁡ x 2 - x 2 1 - x 2 + k

Resposta

∫ 1 4 - x 2 d x = arcsin ⁡ x 2 - x 2 1 - x 2 + k

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