Calcule

dy/dx = y ln(x), t > 0

Passo 1

Por Equações Diferenciais Lineares de 1ª Ordem entendemos uma equação do tipo:

d y d x = y g x + f x

Teremos esse resultado:

y = k e ∫ g x d x + e ∫ g x d x ∫ f x e - ∫ g x d x d x k ∈ R

Para isso precisamos achar um fator integrante e multiplicar dos dois lados, sendo um o lado que tem apenas os termos com y e o outro lado o f x , o fator integrante será:

e - ∫ g x d x

Para o nosso caso o fator integrante será:

e - ∫ ln ⁡ x d x

Podemos resolver essa integral por partes:

∫ ln ⁡ x d x = x ln ⁡ x - ∫ x × 1 x d x

∫ ln ⁡ x d x = x ln ⁡ x - ∫ 1 d x = x ln ⁡ x - x

e x - x ln ⁡ x

Assim fazemos:

d y d x - y g x = f x

d y d x - y g x e - ∫ g x d x = f x e - ∫ g x d x

Vemos que d y d x - y g x e - ∫ g x d x nada mais é que uma derivada do produto do tipo:

d y e - ∫ g x d x d x = d y d x - y g x e - ∫ g x d x

Assim:

d y e - ∫ g x d x d x = f x e - ∫ g x d x

Agora faremos integral dos dois lados:

∫ d y e - ∫ g x d x d x d t = ∫ f x e - ∫ g x d x d x

y e - ∫ g x d x + k = ∫ f x e - ∫ g x d x d x

Como k é uma contante, tanto faz o sinal que colocamos:

y e - ∫ g x d x = ∫ f x e - ∫ g x d x d x + k

Por fim:

y = k e ∫ g x d x + e ∫ g x d x ∫ f x e - ∫ g x d x d x ,   k ∈ R

Para o e ∫ g x d x , teremos:

e ∫ ln ⁡ x d x = e ( x ln ⁡ x - x )

Então, para o nosso caso teremos:

y = k e ( x ln ⁡ x - x ) + e ( x ln ⁡ x - x ) ∫ 0 e ( x - x ln ⁡ x ) d x

Passo 2

Vamos ficar com:

y = k e ( x ln ⁡ x - x ) + e ( x ln ⁡ x - x ) ∫ 0 e ( x - x ln ⁡ x ) d x

y = k e ( x ln ⁡ x - x ) + e x ln ⁡ x - x 0 = k e ( x ln ⁡ x - x ) = k e x ln ⁡ x - 1

Assim:

y = k e x ln ⁡ x - 1

Resposta

y = k e x ln ⁡ x - 1

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