Suponha E, R e C constantes não nulas. Resolva a equação.

R(dQ/dt) + Q/C = E

Passo 1

Por Equações Diferenciais Lineares de 1ª Ordem entendemos uma equação do tipo:

d Q d t = Q g t + f t

Teremos esse resultado:

Q = k e ∫ g t d t + e ∫ g t d t ∫ f t e - ∫ g t d t d t k ∈ R

Precisamos deixar nesse formato então:

R d Q d t + Q C = E

R d Q d t = E - Q C

d Q d t = E R - Q C R

Passo 2

Para isso precisamos achar um fator integrante e multiplicar dos dois lados, sendo um o lado que tem apenas os termos com x e o outro lado o f t , o fator integrante será:

e - ∫ g t d t

Para o nosso caso o fator integrante será:

e - ∫ - 1 R C d t = e t R C

Assim fazemos:

d Q d t - Q g t = f t

d Q d t - Q g t e - ∫ g t d t = f t e - ∫ g t d t

Vemos que d Q d t - Q g t e - ∫ g t d t nada mais é que uma derivada do produto do tipo:

d Q e - ∫ g t d t d t = d Q d t - Q g t e - ∫ g t d t

Assim:

d Q e - ∫ g t d t d t = f t e - ∫ g t d t

Agora faremos integral dos dois lados:

∫ d Q e - ∫ g t d t d t d t = ∫ f t e - ∫ g t d t d t

Q e - ∫ g t d t + k = ∫ f t e - ∫ g t d t d t

Como k é uma contante, tanto faz o sinal que colocamos:

Q e - ∫ g t d t = ∫ f t e - ∫ g t d t d t + k

Passo 3

Por fim:

Q = k e ∫ g t d t + e ∫ g t d t ∫ f t e - ∫ g t d t d t k ∈ R

Para o nosso caso teremos:

Q = k e - t R C + e - t R C ∫ E R e t R C d t = k e - t R C + E C R R e - t R C e t R C = k e - t R C + E C

Resposta

Q = k e - t R C + E C

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