Calcule:

∫ x x 2 - 4 d x

Passo 1

Para resolvermos essa questão usaremos o seguinte teorema e, também, método de resolução de integrais, muito conhecido como Frações Parciais:

Sejam α ,   β ,   m   e   n reais dados, com α ≠ β . Então existem constantes A   e   B tais que:

a )   m x + n ( x - α ) ( x - β ) = A ( x - α ) + B ( x - β ) ;

b ) m x + n x - α 2 = A ( x - α ) + B x - α 2 .

Atenção: o Teorema só é válido para quando o grau do numerador é MENOR do que o grau do denominador!!!

Para resolver nossa questão, precisaremos lembrar de uma grande técnica algébrica que vai nos ajudar MUITO em questões que envolvam integrais que é a seguinte:

a 2 - b 2 = a + b ( a - b )

Portanto, como temos x 2 - 4 = ( x + 2 ) ( x - 2 ) .

Então, nossa integral pode ser reescrita como:

∫ x x 2 - 4 d x = ∫ x ( x + 2 ) ( x - 2 ) d x

Agora, podemos aplicar o teorema:

x x + 2 x - 2 = A ( x + 2 ) + B ( x - 2 )

Aplicando o MMC, passamos a ter:

x x + 2 x - 2 = A x - 2 + B ( x + 2 ) ( x + 2 ) ( x - 2 )

Como temos uma igualdade com denominadores iguais, vamos analisar, por comparação, apenas os numeradores:

x = A x - 2 + B ( x + 2 )

Vamos ditar valores para x para que consigamos zerar uma constante e trabalhar com apenas uma incógnita:

Para x = 2 :

4 B = 2

B = 1 2

Para x = - 2 :

- 4 A = - 2

A = 1 2

Então, por fim, podemos reescrever nossa integral final como sendo:

∫ 1 x 2 - 4 d x = ∫ 1 2 ( x + 2 ) d x + ∫ 1 2 ( x - 2 ) d x

Passo 2

Vamos resolver separadamente as integrais:

E q . 1 = ∫ 1 2 ( x + 2 ) d x

E q . 2 = ∫ 1 2 ( x - 2 ) d x

Lembrando:

∫ 1 m x + n d x = 1 m l n | m x + n |

Será resolvida da seguinte forma a Eq.1:

∫ 1 2 ( x + 2 ) d x = 1 2 ∫ 1 ( x + 2 ) d x

∫ 1 2 ( x + 2 ) d x = 1 2 ln ⁡ x + 2 + C 1

Agora, vamos resolver nossa Eq.2:

∫ 1 2 ( x - 2 ) d x = 1 2 ∫ 1 ( x - 2 ) d x

∫ 1 2 ( x - 2 ) d x = 1 2 ln ⁡ x - 2 + C 2

Vamos somar Eq.1+Eq.2 para obter nossa solução:

E q . 1 + E q . 2 = 1 2 ln ⁡ x + 2 + C 1 + 1 2 ln ⁡ x - 2 + C 2

Vamos adotar: C 1 + C 2 = C , sendo C uma constante real.

Logo, por fim:

∫ 1 x 2 - 4 d x = 1 2 ( ln ⁡ x - 2 + ln ⁡ x + 2 ) + C

Resposta

∫ 1 x 2 - 4 d x = 1 2 ( ln ⁡ x - 2 + ln ⁡ x + 2 ) + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados