Enunciado

Calcule.

int (4 x + 1)/(x^2 + 6 x + 12) d x

Passo 1

Vamos analisar o denominador, ele é um fator linear com um fator irredutível do 2 º grau, vamos manipular um pouco a expressão, vamos completando o quadrado.

A expressão (x + 3)^2 = x^2 + 6 x + 9 é bem parecida com a que temos, então vamos fazer assim:

x^2 + 6 x + 12 = x^2 + 6 x + 9 + 3 = (x + 3)^2 + 3

Substituindo:

int (4 x + 1)/(x^2 + 6 x + 12) d x = int (4 x + 1)/((x + 3)^2 + 3) d x

Agora vamos usar a Regra da Substituição:

v = x + 3 -> x = v - 3

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

d v = 1 + 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

int (4 x + 1)/((x + 3)^2 + 3) d x = int (4 (v - 3) + 1)/(v^2 + 3) d v = int (4 v - 12 + 1)/(v^2 + 3) d v = int (4 v - 1 1)/(v^2 + 3) d v = int (4 v)/(v^2 + 3) - (1 1)/(v^2 + 3) d v = int (4 v)/(v^2 + 3) d v + int - (11)/(v^2 + 3) d v

Vamos calcular as duas separadamente.

Passo 2

Vamos usar a regra da substituição na primeira integral:

t = v^2 + 3

d t = 2 v + 0 d v = 2 v d v

Assim:

int (4 v)/(v^2 + 3) d v = int (4 v)/(v^2 + 3) d v = int (2)/(t) d t

Vamos achar as primitivas da função usando essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Aplicando:

int (2)/(t) d t = 2 int (1)/(t) d t = 2 ln |t| + C

Passo 3

Com a segunda vamos achar as primitivas da função usando essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x^2 + a^2) d x = (1)/(a) arctg ((x)/(a)) + C

Aplicando:

int - (11)/(v^2 + 3) d v = - 11 int (1)/(v^2 + (sqrt(3))^2) d v = - 11 * (1)/(sqrt(3)) * arctg ((v)/(sqrt(3))) + C = - (1 1)/(sqrt(3)) arctg ((v)/(sqrt(3))) + C

Passo 4

Agora é só juntar tudo:

int (4 x + 1)/(x^2 + 6 x + 12) d x = int (4 v)/(v^2 + 3) d v + int - (11)/(v^2 + 3) d v = 2 ln |t| - (11)/(sqrt(3)) arctg ((v)/(sqrt(3))) + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int (4 x + 1)/(x^2 + 6 x + 12) d x = 2 ln |t| - (11)/(sqrt(3)) arctg ((v)/(sqrt(3))) + C = 2 ln |v^2 + 3| - (11)/(sqrt(3)) arctg ((x + 3)/(sqrt(3))) + C = 2 ln |(x + 3)^2 + 3| - (11)/(sqrt(3)) arctg ((x + 3)/(sqrt(3))) + C

Resposta

int (4 x + 1)/(x^2 + 6 x + 12) d x = 2 ln |(x + 3)^2 + 3| - (11)/(sqrt(3)) arctg ((x + 3)/(sqrt(3))) + C

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