Enunciado

Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:

19. ∫ C | x | d y , onde C é o segmento de reta x = 2 y - 1 do ponto A ( - 3 , - 1 ) ao ponto B ( 1,1 ) .

Passo 1

Bom! Vamos lá pra mais um probleminha de integral de linha! Nós queremos trabalhar com a seguinte integral:

∫ C f → x , y d r →

E a nossa força f → x , y pela integral que vemos no enunciado:

∫ C | x | d y

Tiramos que é dada por:

f → x , y = ( 0 , | x | )

Encerrada essa pequena introduçãozinha; vamos pro que realmente interessa.

Olha só! Já sabemos que a primeira coisa que temos que fazer é parametrizar a curva, que no nosso caso, é um segmento de reta.

Passo 2

E para parametrizar o nosso segmento de reta, peguemos os pontos ( - 3 , - 1 ) e ( 1,1 )...

Nós já sabemos que um segmento de reta pode ser parametrizado da seguinte forma:

x = x 0 + a t

y = y 0 + b t

Onde ( x 0 , y 0 ) é o par ordenado formado por dois pontos quaisquer da reta, no caso peguemos o par inicial ( - 3 , - 1 ) .

E para obter o valor ( a , b ) façamos que..

a , b = 1,1 - ( - 3 , - 1 )

a , b = 4,2

Nossa primeira curva, que chamaremos de C 3 , é dada então por:

γ t = ( - 3 + 4 t , - 1 + 2 t )

Nesse caso, 0 ≤ t ≤ 1 :

Quer ver só!? Para t = 0 :

γ t = ( - 3 + 4 t , - 1 + 2 t )

γ t = - 3 , - 1 → P o n t o   A

Para t = 1 :

γ t = ( - 3 + 4 t , - 1 + 2 t )

γ t = 1,1 → P o n t o   B

Passo 3

O próximo passo agora, é justamente mudar a função que nos é fornecida para os termos dessa parametrização que obtivemos.

Onde temos que:

f → x , y = ( 0 , | x | )

Assim, bora tratar de fazer a troca:

f → x , y = ( 0 ,   - 3 + 4 t )

Passo 4

Seguindo nosso raciocínio... O passo número quatro consiste em encontrar o termo d r → fazendo:

d r → = γ ' t d t

Ou seja, o que temos que fazer é apenas tirar a primeira derivada de γ t . Vamos lá:

γ ' ( t ) = ( 4 ,   2 )

Passo 5

Pronto! Só nos resta pegar os três ingredientes que já encontramos e substituir na integral:

∫ C f → x , y d r → = ∫ t 1 t 2 f → x , y d r →

Pera! Mas quais são os limites de integração?

Ora bolas! Do P a s s o   1 , obtemos que 0 ≤ t ≤ 1 . Então, nosso limite de integração vai de 0 até 1 :

∫ C f → x , y d r → =

= ∫ 0 1 ( 0 ,   - 3 + 4 t ) 4,2 d t =

= ∫ 0 1 - 6 + 8 t d t

Agora, vamos igualar àquele termos que tá sendo integrado ali à zero:

- 6 + 8 t = 0

t = 6 8 = 3 4

Fizemos isso, porque como estamos trabalhando com um módulo; obviamente precisamos separar os intervalos onde a expressão é negativa ( 0 ≤ t ≤ 3 / 4 ) de onde ela é positiva ( 3 / 4 < t ≤ 1 ) . Separemos então, a integral:

∫ 0 1 - 6 + 8 t d t = ∫ 0 3 / 4 - - 6 + 8 t d t + ∫ 3 / 4 1 - 6 + 8 t d t =   [ - 6 t + 4 t 2 ] 0 3 / 4 =

=   [ 6 t - 4 t 2 ] 0 3 / 4 +   [ - 6 t + 4 t 2 ] 3 / 4 1 =

= 6 ⋅ 3 4 - 4 ⋅ 3 4 2 - 6 ⋅ 1 + 4 ⋅ 1 2 + 6 ⋅ 3 4 - 4 ⋅ 3 4 2 = 18 4 - 9 4

18 4 - 9 4 + 18 4 - 9 4 - 2 = 10 4 = 5 2

Resposta

5 2

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