Enunciado

Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:

18. ∫ C x d x + y d y , onde C é o triângulo de vértices 0,0 ,   0,1   e ( 1,1 ) no sentido anti-horário.

Passo 1

Bom! Vamos lá pra mais um probleminha de integral de linha! Nós queremos trabalhar com a seguinte integral:

∫ C f → x , y d r →

E a nossa força f → x , y pela integral que vemos no enunciado:

∫ C x d x + y d y

Tiramos que é dada por:

f → x , y = ( x ,   y )

Encerrada essa pequena introduçãozinha; vamos pro que realmente interessa.

Olha só! Já sabemos que a primeira coisa que temos que fazer é parametrizar a curva. Mas no nosso caso, C   é um triângulo, que vai ser formado pela união de três segmentos de retas. Ou seja, são três curvas que teremos de parametrizar...

Para isso, façamos o esboço do nosso sistema:

Passo 2

E aí que vem o grande xis da questão. Podemos verificar no esboço abaixo, em que v → é o nosso campo curvilíneo.

Que em dois segmentos do nosso triângulo, o campo vetorial é perpendicular. Logo, a componente tangencial do campo sobre a superfície é nula. De modo que:

∫ C 1 f → x , y d r → = 0

∫ C 3 f → x , y d r → = 0

Onde C 1 é a curva referente ao segmento de reta dos pontos ( 0,0 ) e ( 0,1 ) e C 3 é o segmento de reta pertinente aos pontos ( 0,0 ) e ( 1,1 ) .

Ou seja, temos que obter apenas C 2   que pega os pontos ( 0,1 ) e ( 1,1 )...

Passo 3

Vamos lá para o nosso segmento de reta, que pega os pontos ( 0,1 ) e ( 1,1 )...

Nós já sabemos que um segmento de reta pode ser parametrizado da seguinte forma:

x = x 0 + a t

y = y 0 + b t

Onde ( x 0 , y 0 ) é o par ordenado formado por dois pontos quaisquer da reta, no caso peguemos o par ( 0,1 ) .

E para obter o valor ( a , b ) façamos que..

a , b = 1,1 - ( 0,1 )

a , b = 1,0

Nossa primeira curva, que chamaremos de C 3 , é dada então por:

γ 2 t = ( t , 1 )

Nesse caso, 0 ≤ t ≤ 1 .

Passo 4

O próximo passo agora, é justamente mudar a função que nos é fornecida para os termos dessa parametrização que obtivemos.

Onde temos que:

f → x , y = ( x ,   y )

Assim, bora tratar de fazer a troca:

f → x , y = ( x ,   y )

Para a curva C 2 :

f → x , y = ( t ,   1 )

Passo 5

Seguindo nosso raciocínio, o passo número cinco consiste em encontrar o termo d r → fazendo:

d r → = γ ' t d t

Ou seja, o que temos que fazer é apenas tirar a primeira derivada de γ t . Vamos lá:

Para a curva C 2 :

γ 2 ' ( t ) = ( 1 ,   0 )

Passo 6

Pronto! Só nos resta pegar os três ingredientes que já encontramos e substituir na integral:

∫ C f → x , y d r → = ∫ t 1 t 2 f → x , y d r →

Pera! Mas quais são os limites de integração?

Ora bolas! Do P a s s o   1 ao P a s s o   4 , obtemos que 0 ≤ t ≤ 1 . Então, nosso limite de integração vai de 0 até 1 :

∫ C f → x , y d r → = ∫ C 1 f → x , y d r → + ∫ C 2 f → x , y d r → + ∫ C 3 f → x , y d r →

E ficamos apenas com:

∫ C f → x , y d r → = ∫ C 2 f → x , y d r → =

= ∫ 0 1 t , 1 1,0 d t + =

= ∫ 0 1 t d t = t 2 2 0 1 = 1 2

Resposta

1 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada. ∫ C s e nxd x + cos ⁡ yd y C consiste na metade superior da circunferência x 2 + y 2 = 1 de ( 1 ,0 ) a ( - 1 ,0 ) e o segmento de reta de ( - 1 ,0 )
Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada. ∫ C x 2 zd s C é o segmento de reta de ( 0 ,6 ,- 1 ) a ( 4 ,1 ,5 ) .
Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada. ∫ C y e xd s C é o segmento de reta que liga ( 1 ,2 ) a ( 4 ,7 ) .
Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada. ∫ C ( x y + ln ⁡ x )d s C é o arco de parábola y = x 2 de ( 1 ,1 ) a ( 3 ,9 ) .
Calcule a integral de linha ∫ C F → ⋅ d r → , onde C é dada pela função vetorial r → ( t ) . F → x , y = x 2 y 3 i ^ - y x j ^ , r → t = t 2 i ^ - t 3 j ^ , 0 ≤ t ≤ 1