Calcule:

∫ 0 + ∞ t e - s t   d t   ( s > 0 )

Passo 1

Como estamos calculando uma integral imprópria, a primeira coisa a se fazer é aplicar o limite

∫ 0 + ∞ t e - s t   d t = lim A → + ∞ ⁡ ∫ 0 A t e - s t   d t  

Passo 2

Agora podemos calcular a integral tranquilamente, utilizando a integração por partes

∫ f ⋅ g '   d t = f ⋅ g - ∫ f ' ⋅ g   d t

Neste caso nossas funções são

f = t g ' = e - s t   →   f ' = 1 g = - e - s t s

Para encontrar g , fazemos a substituição

u = - s t d u = - s   d t ⇒ d t = d u - s

E temos

∫ e - s t   d t = ∫ e u d u - s

= - e u s + C = - e - s t s + C

Então

∫ t e - s t   d t = - t e - s t s - ∫ - e - s t s   d t

= - t e - s t s + 1 s ∫ e - s t   d t = - t e - s t s - e - s t s 2 + C

Voltando ao limite

lim A → + ∞ ⁡ ∫ 0 A t e - s t   d t   = lim A → + ∞ ⁡ - t e - s t s - e - s t s 2 0 A  

= lim A → + ∞ ⁡ - t s e s t - 1 s 2 e s t 0 A  

Passo 3

Substituindo os limites de integração temos

lim A → + ∞ ⁡ - t s e s t - 1 s 2 e s t 0 A   = lim A → + ∞ ⁡ - A s e s A - 1 s 2 e s A + 0 s e 0 + 1 s 2 e 0  

= lim A → + ∞ ⁡ - A s e s A - 1 s 2 e s A + 1 s 2  

Utilizando a propriedade do limite para dividir em uma soma de limites temos

= - lim A → + ∞ ⁡ A s e s A   - lim A → + ∞ ⁡ 1 s 2 e s A + 1

Para o segundo limite, não precisamos de muita análise, ele vai para zero, mas para calcular o primeiro, vamos usar L’Hospital, então focando somente nesse limite

lim A → + ∞ ⁡ A s e s A   = lim A → + ∞ ⁡ 1 s 2 e s A   = 0

Então temos que

lim A → + ∞ ⁡ - A s e s A - 1 s 2 e s A + 1 s 2   = 1 s 2

Resposta

1 s 2

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