Calcule:

∫ 2 + ∞ 1 x 2 - 1   d x

Passo 1

Como estamos calculando uma integral imprópria, a primeira coisa a se fazer é aplicar o limite

∫ 2 + ∞ 1 x 2 - 1   d x = lim A → + ∞ ⁡ ∫ 2 A 1 x 2 - 1   d x  

Passo 2

Agora podemos calcular a integral tranquilamente, utilizando a expansão por frações parciais

lim A → + ∞ ⁡ ∫ 2 A 1 x 2 - 1   d x   = lim A → + ∞ ⁡ ∫ 2 A 1 ( x - 1 ) ( x + 1 )   d x  

Então vamos expandir

1 ( x - 1 ) ( x + 1 ) = A x - 1 + B x + 1 = A x + 1 + B ( x - 1 ) ( x - 1 ) ( x + 1 )

E tiramos a igualdade

A x + 1 + B x - 1 = 1

E isso vale para todo x ∈ R , portanto vale para x = 1

2 A = 1

A = 1 2

E vale também para x = - 1

- 2 B = 1

B = - 1 2

Logo, temos a igualdade

1 ( x - 1 ) ( x + 1 ) = 1 2 ⋅ 1 x - 1 - 1 2 ⋅ B x + 1

Passo 3

Na integral

lim A → + ∞ ⁡ ∫ 2 A 1 ( x - 1 ) ( x + 1 )   d x   = lim A → + ∞ ⁡ 1 2 ∫ 2 A 1 x - 1   d x - 1 2 ∫ 2 A 1 x + 1   d x  

= lim A → + ∞ ⁡ 1 2 ln ⁡ x - 1 - 1 2 ln ⁡ x + 1 2 A  

Passo 4

Substituindo os limites de integração temos

= lim A → + ∞ ⁡ 1 2 ln ⁡ A - 1 - 1 2 ln ⁡ A + 1 - 1 2 ln ⁡ 2 - 1 + 1 2 ln ⁡ 2 + 1

Podemos colocar 1 / 2 em evidência e nos dois primeiros logaritmos, usar a propriedade ln ⁡ ( a / b ) = ln ⁡ a - ln ⁡ b

= 1 2 lim A → + ∞ ⁡ ln ⁡ A - 1 A + 1 - ln ⁡ 1 + ln ⁡ 3 = ln ⁡ 3 2 + lim A → + ∞ ⁡ ln ⁡ A - 1 A + 1

Como o logaritmo é uma função continua para um argumento maior que zero e o argumento neste caso é positivo, podemos colocar o limite para dentro

= ln ⁡ 3 2 + ln ⁡ l i m A → + ∞ A - 1 A + 1 = ln ⁡ 3 2 + ln ⁡ l i m A → + ∞ A 1 - 1 A A 1 + 1 A

= ln ⁡ 3 2 + ln ⁡ 1 = ln ⁡ 3 2

Resposta

ln ⁡ 3 2

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