Calcule f'(x) .

f(x) = ln(x) / x

Passo 1

Para calcular essa derivada vamos usar algumas regras, de primeira dá pra perceber que vamos usar a regra da divisão:

h x g x ' = h ' x g x - h x g ' x g x 2

Temos que:

h x = ln ⁡ x

e

g x = x

Vamos agora só montar na fórmula:

f ' x = ln ⁡ x x ' = ln ⁡ x ' ⋅ x - ln ⁡ x ⋅ x ' x 2

Passo 2

Vamos usar a regra do polinômio e da função logarítmica natural:

x n ' = n x n - 1

ln ⁡ f x ' = 1 f x ⋅ f ( x ) '

Passo 3

Vamos calcular h ' ( x ) , usando a da função logarítmica natural:

h ' x = ln ⁡ x ' = 1 x ⋅ x ' = 1 x ⋅ x 1 - 1 = 1 x ⋅ x 0 = 1 x ⋅ 1 = 1 x

Com g ' ( x ) vamos usar regra do polinômio:

g ' x = x ' = x 1 - 1 = x 0 = 1

Passo 4

Agora é só substituir de volta na fórmula e pronto:

f ' x = ln ⁡ x x ' = ln ⁡ x ' ⋅ x - ln ⁡ x ⋅ x ' x 2 = 1 x ⋅ x - ln ⁡ x ⋅ 1 x 2 = 1 - ln ⁡ x x 2

Resposta

f ' ( x ) = 1 - ln ⁡ x x 2

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