Calcule a derivada segunda.

x = t \* sen(t)

Passo 1

Vamos analisar a função, aqui vamos usar a regra do produto:

h t g t ' = h ' t g t + g ' t h t

Temos que:

h t = t

e

g t = sen ⁡ t

Assim:

x ' = d x d t = d d t t sen ⁡ t = h ' t g t + g ' t h t = t ' ⋅ sen ⁡ t + sen ⁡ t ' ⋅ t

Passo 2

Vamos usar a regra do polinômio e da função trigonométrica:

t n ' = n t n - 1

sen ⁡ t ' = cos ⁡ t

cos ⁡ t ' = - sen ⁡ t

Vamos calcular h ' ( t ) , usando a regra do polinômio:

h ' ( t ) = t ' = t 1 - 1 = t 0 = 1

Com g ' ( t ) vamos usar a regra e da função trigonométrica:

g ' ( t ) = sen ⁡ t ' = cos ⁡ t

Passo 3

Agora é só substituir de volta na fórmula e pronto:

x ' = h ' t g t + g ' t h t = t ' ⋅ sen ⁡ t + sen ⁡ t ' ⋅ t = 1 ⋅ sen ⁡ t + cos ⁡ t ⋅ t = sen ⁡ t + t cos ⁡ t

Passo 4

Para calcular a segunda derivada vamos usar as mesmas regra, derivando agora x ' :

x ' ' = x ' ' = d 2 x d t 2 = d d t d x d t = d d t sen ⁡ t + t cos ⁡ t ' = cos ⁡ t + 1 ⋅ cos ⁡ t + t - sen ⁡ t = cos ⁡ t + cos ⁡ t - t sen ⁡ t = 2 cos ⁡ t - t sen ⁡ t

Resposta

x ' ' = d 2 x d t 2 = 2 cos ⁡ t - t sen ⁡ t

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