Calcule F'(x) sendo F(x) igual a

x^2 \* cos(x) \* (1 + ln(x))

Passo 1

Aqui vamos usar a regra do produto:

h x g x ' = h ' x g x + g ' x h x

Temos que:

h x = x 2 cos ⁡ x

e

g x = 1 + ln ⁡ x

Assim:

f ' x = h ' x g x + g ' x h x = x 2 cos ⁡ x ' ⋅ 1 + ln ⁡ x + 1 + ln ⁡ x ' ⋅ x 2 cos ⁡ x

Passo 2

Vamos usar a regra da função logarítmica natural, da função trigonométrica, do polinômio e da função constante:

ln ⁡ f x ' = 1 f x ⋅ f ( x ) '

cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x

x n ' = n x n - 1

c ' = 0

Passo 3

Vamos calcular h ' ( x ) , vamos usar a regra do produto novamente:

r x s x ' = r ' x s x + s ' x r x

Temos que:

r x = x 2

e

s x = cos ⁡ x

Assim:

x 2 cos ⁡ x ' = r ' x s x + s ' x r x = x 2 ' ⋅ cos ⁡ x + cos ⁡ x ' ⋅ x ²  

Para calcular r ' x vamos usar a regra do polinômio:

r ' ( x ) = x 2 ' = 2 x 2 - 1 = 2 x

Com s ' ( x ) vamos usar a regra da função trigonométrica:

s ' ( x ) = cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x

Substituindo de volta:

x 2 cos ⁡ x ' = x 2 ' ⋅ cos ⁡ x + cos ⁡ x ' ⋅ x 2 = 2 x ⋅ cos ⁡ x + - sen ⁡ x ⋅ x 2 = 2 x cos ⁡ x - x ² sen ⁡ x

Passo 4

Por último, com g ' ( x ) vamos usar a da função logarítmica natural e da função constante:

g ' ( x ) = 1 + ln ⁡ x ' = 0 + 1 x ⋅ x ' = 1 x ⋅ x 1 - 1 = 1 x ⋅ x 0 = 1 x ⋅ 1 = 1 x

Agora é só substituir de volta na fórmula e pronto:

f ' x = h ' x g x + g ' x h x = x 2 cos ⁡ x ' ⋅ 1 + ln ⁡ x + 1 + ln ⁡ x ' ⋅ x 2 cos ⁡ x = 2 x cos ⁡ x - x 2 sen ⁡ x ⋅ 1 + ln ⁡ x + 1 x ⋅ x 2 cos ⁡ x = 2 x cos ⁡ x - x 2 sen ⁡ x ⋅ 1 + ln ⁡ x + x cos ⁡ x

Resposta

f ' x = 2 x cos ⁡ x - x 2 sen ⁡ x ⋅ 1 + ln ⁡ x + x cos ⁡ x

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