Enunciado

Calcule a área exata da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x .  

  y = 1 + e x ,     0 ≤ x ≤ 1

Passo 1

O enunciado pede pra a gente encontrar a área exata da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x para:

  y = 1 + e x ,     0 ≤ x ≤ 1

Para isso utilizamos a seguinte fórmula :

S = ∫     2 π y   d s ,

onde d s = 1 + d y d x 2 d x .

Passo 2

Primeiro precisamos calcular o d s :

d s = 1 + d y d x 2 d x

Calculamos primeiro a derivada:

y = 1 + e x ⇒ d y d x = e x 2 1 + e x

d s = 1 + d y d x 2 d x = 1 + e x 2 1 + e x 2 d x

Passo 3

A integral que corresponde a área da superfície rotacionada em relação ao eixo x :

2 π ∫ 0 1   1 + e x 1 + e x 2 1 + e x 2   d x = 2 π ∫ 0 1   1 + e x ⋅ 1 + e x 4 1 + e x       d x

Abrindo as contas:

2 π ∫ 0 1   1 + e x ⋅ ( 1 4 ⋅ 4 + 4 e x + e 2 x 1 + e x )     d x = 2 π   ∫ 0 1 1 2 4 + 4 e x + e 2 x     d x

Mas:

2 π ∫ 0 1 1 2 4 + 4 e x + e 2 x     d x =   2 π ∫ 0 1 1 2 e x + 2 2     d x

=   2 π ∫ 0 1 1 2 e x + 2 d x = π   e x + 2 x 0 1

Fazendo a substituição:

π   e x + 2 x 0 1 = π e - 1 + 2

A = π ( e + 1   )

Prontinhoo!

Resposta

A = π e + 1

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