Enunciado

Suponha que y = f ( x ) seja uma curva suave no intervalo [ a , b ] e que f x ≥ 0 para cada a ≤ x ≤ b . Deduza uma fórmula para a área da superfície gerada quando a curva y = f ( x ) , a ≤ x ≤ b , gira em torno da reta y = - k ( k > 0 ).

Passo 1

O que acontece aqui é que em vez de girarmos uma curva totalmente positiva em torno do eixo x , precisaremos girar em torno de uma reta paralela o eixo x , localizada em y = - k , para formar nossa nova superfície.

E aí o que enunciado pede é para montarmos uma nova equação para conseguirmos calcular a área dessa nova superfície.

Vem comigo?

Passo 2

Primeiro vamos analisar os parâmetros que regiam a equação da área da antiga superfície, a que girava em torno de x :

S = ∫ a b 2 π f x 1 + f ' x 2 d x

Olha na figura a curva que a gente tem, de uma forma genérica:

Vemos que f ' ( x ) é a inclinação da nossa curva, [ a , b ] é o nosso intervalo e f ( x ) é a distância dos pontos da curva até o eixo de rotação.

Vamos seguir!

Passo 3

Vamos analisar a nova situação e ver como os nossos parâmetros mudaram.

Olha na figura a curva que a gente tem, de uma forma genérica:

Vemos que f ' ( x ) e [ a , b ] não mudam. Mas repara que distância dos pontos da curva até o eixo de rotação não é mais f ( x ) , e sim f x + k . E essa é a mudança que a gente vai fazer na equação antiga.

Se tínhamos isso:

S = ∫ a b 2 π f x 1 + f ' x 2 d x

No lugar de f ( x ) , colocamos f x + k :

S = ∫ a b 2 π ( f x + k ) 1 + f ' x 2 d x

Tá aí nossa equação novinha em folha! 😊

Resposta

S = ∫ a b 2 π ( f x + k ) 1 + f ' x 2 d x

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