6 . Calcule a área da superfície z = raiz(x^2 + y^2), (x-2)^2 + 4y^2 ≤ 1

Passo 1

Pode até parecer confuso quando temos 2 equações, fica aquela dúvida de “qual superfície usar?”. Bem vamos traduzir o que esse exercício diz, temos então uma casca cônica limitada por uma região.

E essa região limitada da casca cônica que vamos calcular. Lembrando que nossa estrutura de cálculo é

∫ ∫ S d S =     ∫ ∫ R ' 1 + ∂ z ∂ y 2 + ∂ z ∂ x 2 d y d x

Passo 2

Então vamos usar nossa equação do cone e projetar ela no plano XY

x 2   +   y 2 =   z 2  

Logo como vamos projetar em XY, vamos isolar z

z = x 2 + y 2      

Só nos resta agora calcular as derivadas parciais de z

z x = x x 2 + y 2

z y = y x 2 + y 2

Passo 3

Vamos Unir o que já calculamos a nossa integral

∫ ∫ R ' 1 + ∂ z ∂ y 2 + ∂ z ∂ x 2 d y d x

∫ ∫ R ' 1 + y x 2 + y 2 2 + x x 2 + y 2 2 d y d x

∫ ∫ R ' 1 + x 2 + y 2 x 2 + y 2 d y d x

∫ ∫ R ' 2 d y d x

= 2 ∫ ∫ R ' d y d x

Beleza agora so precisamos encontrar o intervalo de integração e isso é dado pela nossa região que limita o cone

x - 2 2 + 4 y 2 ≤ 1

Então podemos ser sagazes agora. Essa equação da integral

2 ∫ ∫ R ' d y d x

Significa que estamos calculando a área da nossa região – uma elipse. Isso quer dizer que podemos encurtar os cálculos já que sabemos que a area de uma elipse é

A e l i p s e = a b π

Então da equação da elipse

x - 2 2 + 4 y 2 ≤ 1

Podemos dizer que

a = 1

b = 1 2

Visto que a equação canônica de uma elipse é

x - x 0 a 2 + y - y 0 b 2 = 1  

Logo a área dessa elipse é

A = 1 * 1 2 * π

A = π 2

Logo a área da nossa superfície é

2 ∫ ∫ R ' d y d x → 2 π 2

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ ∫ R ' 1 + ∂ z ∂ y 2 + ∂ z ∂ x 2 d y d x =   2 π 2

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