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Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart - Capítulo 8.2 - Ex. 8

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Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x .

y = cos ⁡ 2 x ,       0 ≤ x ≤ π / 6

Passo 1

Queremos a área da superfície de revolução obtida quando se gira a curva em torno do eixo x . Assim, usamos que

A = ∫ a b 2 π y   1 + y ' 2   d x

Tomando a derivada de y , achamos y ' :

y ' = - s e n   2 x ⋅ 2 = - 2 s e n   2 x

Assim,

1 + y ' 2 = 1 + 4 s e n 2 2 x

Passo 2

Desta forma, a área será

A = 2 π   ∫ 0 π 6 cos ⁡ 2 x 1 + 4   s e n 2 2 x   d x

Vamos fazer t = 2 x ⇒ d t = 2 d x . Portanto

A = 2 π 2 ∫ 0 π 3 cos ⁡ t   1 + 4 s e n 2 t   d t

Agora u = s e n   t ⇒ d u = cos ⁡ t   d t . Desta forma,

A = π ∫ 0 3 2 1 + 4 u 2   d u

Passo 3

Vamos fazer agora uma substituição trigonométrica do tipo u = 1 2 t g   t , assim d u = 1 2 sec 2 ⁡ t   d t . Além disso,

1 + 4 u 2 = 1 + t g 2 t = sec ⁡ t

Desta forma,

A = π ∫ 0 π 3 sec ⁡ t ⋅ 1 2 sec 2 ⁡ t   d t = π 2 ∫ 0 π 3 sec 3 ⁡ t   d t

Para calcular a integral de secante ao cubo, vamos usar integral por partes:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Passo 4

Chamando u = sec ⁡ t e d v = sec 2 ⁡ t   d t , temos que d u = sec ⁡ t   t g   t   d t e v = t g   t . Assim,

∫ 0 π 3 sec 3 ⁡ t   d t = sec ⁡ t   t g   t 0 π / 3 - ∫ 0 π 3 t g 2 t sec ⁡ t = 2 3 - ∫ 0 π 3 t g 2 t sec ⁡ t

Por outro lado, podemos escrever t g 2 t = sec 2 ⁡ - 1 , assim

∫ 0 π 3 sec 3 ⁡ t   d t = 2 3 - ∫ 0 π 3 sec 3 ⁡ t   d t + ∫ 0 π 3 sec ⁡ t   d t

Veja que uma integral se repete, então podemos passar ela para o outro lado:

2 ∫ 0 π 3 sec 3 ⁡ t   d t = 2 3 + ∫ 0 π 3 sec ⁡ t   d t = 2 + ln ⁡ sec ⁡ t + t g   t 0 π / 3 = 2 3 + ln ⁡ ( 2 + 3 )

Assim,

∫ 0 π 3 sec 3 ⁡ t   d t = 1 2 2 3 + ln ⁡ 2 + 3

Desta forma,

A = π 2 ∫ 0 π 3 sec 3 ⁡ t   d t = π 4 2 3 + ln ⁡ 2 + 3

Resposta

π 4 2 3 + ln ⁡ 2 + 3

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