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Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart - Capítulo 8.2 - Ex. 4

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Escreva, mas não calcule, uma integral para a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do (a) eixo x e (b) eixo y.

x = y - y 2

Passo 1

Bom, essa é uma questão introdutória sobre áreas de superfície de revolução: é pedido apenas para escrever a integral que fornecerá a área, mas não vamos precisar calcular ela (ufa né?). Além disso, devemos escrever tanto a expressão considerando a rotação em torno do eixo x (item a) como em torno do eixo y (item b). Para isso, é sempre bom fazer um esboço da curva né?

Observe que a curva na verdade é meia circunferência. Além disso, tomando y como função de x , a curva não passa no teste da reta vertical de modo que não representa uma função propriamente dita.

Passo 2

Para girar em torno do eixo x, precisamos quebrar a integral em duas partes. Para isso, vamos isolar y :

y 2 - y + x 2 = 0

Usando a fórmula de Bháskara considerando x como constante:

y = - - 1 ± - 1 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ x 2 2 ⋅ 1 = 1 ± 1 - 4 x 2 2 = 1 2 ± 1 - 4 x 2 2

Assim,

y ' = ± 1 4 1 - 4 x 2 ⋅ - 8 x = ∓ 2 x 1 - 4 x 2

Desta forma,

1 + y ' 2 = 1 + 4 x 2 1 - 4 x 2 = 1 - 4 x 2 + 4 x 2 1 - 4 x 2 = 1 1 - 4 x 2

Portanto, a integral que seria algo do tipo A = ∫ a b 2 π   y   1 + y ' 2 d x , é quebrada em

A = 2 π   ∫ 0 1 2 1 2 - 1 - 4 x 2 2 1 1 - 4 x 2 d x + 2 π   ∫ 0 1 2 1 2 + 1 - 4 x 2 2 1 1 - 4 x 2 d x

Passo 3

Para a rotação em torno do eixo y, a integral é dada por

A = ∫ a b 2 π   x   1 + ( x ' ) 2   d y ,

onde x é dado como função de y . Derivando x como função de y :

x ' = 1 2 y - y 2 ⋅ ( 1 - 2 y ) ⇒ 1 + ( x ' ) 2 = 1 + ( 1 - 2 y ) 2 4 ( y - y 2 )

Assim,

A = 2 π   ∫ 0 1 y - y 2 ⋅ 1 + ( 1 - 2 y ) 2 4 ( y - y 2 )   d y

Resposta

a) A = 2 π   ∫ 0 1 2 1 2 - 1 - 4 x 2 2 1 1 - 4 x 2 d x + 2 π   ∫ 0 1 2 1 2 + 1 - 4 x 2 2 1 1 - 4 x 2 d x

b) A = 2 π   ∫ 0 1 y - y 2 ⋅ 1 + ( 1 - 2 y ) 2 4 ( y - y 2 )   d y

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