Enunciado

Calcule o centro de massa do fio γ t = t , t , t , 0 ≤ t ≤ 1 , com densidade linear δ x , y , z = x y z .

Passo 1

Vamos tomar o enunciado do exercício 8 para calcular o centro de massa. Do Capítulo “Integral de linha relativa ao comprimeiro de arco”, na qual uma função f X contínua, definida na imagem de γ , temos que

∫ γ f X d s = ∫ a b f γ t | γ ' t |   d t

E será assim que podemos resolver

Passo 2

Tome que γ t = t ,   t ,   t → γ ' t = 1 , 1 ,   1 → γ ' t = 3

Temos também que δ γ t = t 3

Então

∫ γ x   d m = ∫ 0 1 3   t   t 3 d t = 3 t 5 5 0 1 = 3 5

Por simetria, temos que

∫ γ x   d m =   ∫ γ y   d m = ∫ γ z   d m = 3 5

E calculando a massa

∫ γ d m = ∫ 0 1 3 t 3 d t = 3 4

Com os valores calculados, podemos definir então que

x c = y c = z c = 3 / 5 3 / 4 = 4 5

Assim temos que o centro de massa será em

4 5 1,1 , 1

Resposta

4 5 1,1 , 1

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