Calcule ∫ γ y 2 d x + x d y - d z , onde gamma é o poligonal de vértices A_0 = (0,0, 0) , A1 = (1.1, 1) e A_2 = (1,1, 0) , orientada de A_0 para A_2 .

Passo 1

A curva em questão é dada pela imagem a baixo que criamos no software Geogebra

O Sentido que devemos adotar é o horário, ou seja, A → B → C

Passo 2

Vamos fazer por partes, no caso, 2 partes. Assim

Para γ 1 A → B

γ 1 t = t , t , t ,   0 ≤ t ≤ 1

Com

d γ 1 t = ( d t , d t , d t )

Para γ 2   B → C

γ 2 t = 1,1 , 1 - t ,   0 ≤ t ≤ 1

Com

d γ 2 t = ( 0,0 , - d t )

Como a curva só está orientada até o A 2 , paramos nessa parte!

Passo 3

Assim teremos que

∫ 0 1 t 2 d t + t d t - d t - - d t

Que nos dá

∫ 0 1 ( t 2 + t ) d t = t 3 3 + t 2 2 0 1 = 1 3 + 1 2 = 5 6

Resposta

5 6

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