15. Calcule:

∫ cos ⁡ 7 x cos ⁡ 3 x   d x

Passo 1

Primeiro vamos transformar esse produto dentro da integral em soma, pois temos fórmula de soma de integral e não de produto. Vamos lá:

Utilizaremos a fórmula abaixo:

cos ⁡ a cos ⁡ b = 1 2 [ cos ⁡ ( a + b ) + cos ⁡ ( a - b ) ]

Passo 2

Vamos fazer a = 7 x e b = 3 x

cos ⁡ 7 x cos ⁡ 3 x = 1 2 [ cos ⁡ ( 7 x + 3 x ) + cos ⁡ ( 7 x - 3 x ) ]   = 1 2 [ cos ⁡ ( 10 x ) + cos ⁡ ( 4 x ) ]

Agora iremos substituir na integral da questão:

∫ cos ⁡ 7 x cos ⁡ 3 x   d x   = 1 2 ( ∫ cos ⁡ 10 x d x + ∫ cos ⁡ 4 x d x   )

=   1 2 ∫ cos ⁡ 10 x d x + 1 2 ∫ cos ⁡ 4 x d x

Passo 3

Lembrando que ∫ cos ⁡ a x   d x =   1 a sin ⁡ a x   + c

Faremos a integral em separado:

1 2 ∫ cos ⁡ 10 x d x   =   1 20 sin ⁡ 10 x   +   c

1 2 ∫ cos ⁡ 4 x d x = 1 8 sin ⁡ 4 x + c

Resposta

∫ cos ⁡ 7 x cos ⁡ 3 x   d x   = 1 20 sin ⁡ 10 x + 1 8 sin ⁡ 4 x + c

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