Determine a função y = y(x), x > 0 , tal que

dy/dx = x + 1/raiz(x) e y(1) = 0

Passo 1

Separando os termos y e x para cada lado da equação:

d y d x = x + 1 x → ∫ d y = ∫ x + 1 x d x

Separando em duas integrais distintas:

∫ d y = ∫ x + 1 x d x

∫ d y = ∫ x d x + ∫ d x x  

Passo 2

Calculando a integral:

y x = ∫ x d x + ∫ d x x  

y x = ∫ x d x + ∫ x - 1 / 2 d x = x 2 2 + x 1 / 2 1 / 2 + C = x 2 2 + 2 x + C

Substituindo o ponto dado:

y 1 = 0 = 1 2 2 + 2 1 + C

C = - 1 2 - 2 = - 5 2

Assim,

y x = x 2 2 + 2 x - 5 2

Prontinho!!!

Resposta

y x = x 2 2 + 2 x - 5 2

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