Calcule:

a) sen(arctg 2 + arctg 3)

b) cos(arctg 2 - arctg(1/2))

c tg(2 arc tg(1/5))

d) cos(3arc tg(24 / 7))

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de funções circulares inversas. Usando o passo a passo dos exercícios resolvidos 381 e 383, e mais alguns conceitos aprendidos anteriormente, e continuando a resolução do exercício 384, teremos:

Item c

Sabendo que:

t g   2 α = 2 t g   α 1 - t g 2 α

E fazendo:

α = a r c   t g 1 5

Teremos que:

α = a r c   t g 1 5 = > t g   α = 1 5   e   - π 2 < α < π 2

Passo 2

Substituindo na relação inicial teremos:

t g   2   a r c   t g 1 5 = t g   2 α = 2 t g   α 1 - t g 2 α = 2 ∙ 1 5 1 - 1 5 2 =

= 2 5 1 - 1 25 = 2 5 24 25 = 2 5 ∙ 25 24 = 5 12

Passo 3

Item d

Sabendo que:

cos ⁡ 2 α = cos 2 ⁡ α - s e n 2 α

E fazendo:

α = a r c   t g 24 7

Devemos obter a equação para:

cos ⁡ 3 α = cos ⁡ 2 α + α

Segue a dedução:

cos ⁡ 2 α + α = cos ⁡ 2 α ∙ cos ⁡ α - s e n   2 α ∙ s e n   α =

= cos 2 ⁡ α - s e n 2 α ∙ cos ⁡ α - 2 s e n α   c o s α ∙ s e n   α =

= cos 3 ⁡ α - s e n 2 α cos ⁡ α - 2 s e n 2 α cos ⁡ α = cos 3 ⁡ α - 3 s e n 2 α cos ⁡ α

Temos que:

α = a r c   t g 2 4 7 = > t g   α = 24 7   e   - π 2 < α < π 2

Logo:

s e n 2 α = t g 2   α 1 + t g 2   α = 24 7 2 1 + 24 7 2 = 576 49 1 + 576 49 = 576 49 625 49 = 576 625

= > s e n   α = + 576 625 = 24 25

E da relação fundamental temos que:

cos ⁡ α = + 1 - s e n 2 α = 1 - 576 625 = 49 6 2 5 = 7 2 5

Passo 4

Da relação inicial teremos que:

cos ⁡   3 a r c   t g 24 7 = cos ⁡ 3 α = cos 3 ⁡ α - 3 s e n 2 α cos ⁡ α =

= 7 25 3 - 3 ∙ 24 25 2 ∙ 7 25 = 343 15625 - 12096 15625 = - 11753 15625

E é isso pessoal. Espero que a resolução tenha sido proveitosa para todos. Até mais.

Resposta

c )   5 12 ; d )   - 11753 15625

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