Calcule:

a) tg(arcsen(-2/3) + arcsen(1/4))

b) sen(2 arc sen(-3/5)).

c) cos(3 arc sen(12 / 13))

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de funções circulares inversas. Usando o passo a passo do exercício resolvido 366, e mais alguns conceitos aprendidos anteriormente, e continuando a resolução do exercício, teremos:

Item b

Sabendo que:

s e n 2 α = 2 s e n α   c o s α

E fazendo:

α = a r c   s e n - 3 5

Teremos que:

α = a r c   s e n - 3 5 = > s e n   α = - 3 5   e   - π 2 ≤ α ≤ π 2

Logo:

cos ⁡ α = + 1 - s e n 2 α = 1 - - 3 5 2 = 1 - 9 25 = 16 25 = 4 5

Com os valores de seno e cosseno obtidos, podemos usar a equação do seno do arco duplo:

s e n 2 α = s e n 2   a r c   s e n   - 3 5 = 2 ∙ - 3 5 ∙ 4 5 = - 24 25

Passo 2

Item c

Sabendo que:

cos ⁡ 2 α = cos 2 ⁡ α - s e n 2 α

E fazendo:

α = a r c   s e n 12 13

Devemos obter a equação para:

cos ⁡ 3 α = cos ⁡ 2 α + α

Segue a dedução:

cos ⁡ 2 α + α = cos ⁡ 2 α ∙ cos ⁡ α - s e n   2 α ∙ s e n   α =

= cos 2 ⁡ α - s e n 2 α ∙ cos ⁡ α - 2 s e n α   c o s α ∙ s e n   α =

= cos 3 ⁡ α - s e n 2 α cos ⁡ α - 2 s e n 2 α cos ⁡ α = cos 3 ⁡ α - 3 s e n 2 α cos ⁡ α

Passo 3

Com essa formulação obtida, vamos determinar o seno e o cosseno do ângulo:

α = a r c   s e n 12 13 = > s e n   α = 12 13   e   - π 2 ≤ α ≤ π 2

E daí:

cos ⁡ α = + 1 - s e n 2 α = 1 - 12 13 2 = 1 - 144 169 = 25 169 = 5 13

Substituindo na formulação obtida no passo 2, teremos que:

cos ⁡ 3 α = cos ⁡ 3   a r c   s e n 12 13 = 5 13 3 - 3 12 13 2 5 13 = 125 2197 - 2160 2197 = - 2035 2197

E é isso pessoal. Espero que a resolução tenha sido proveitosa para todos. Até mais.

Resposta

b )   - 24 25 ; c )   - 2035 2197

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