Calcule:

a) sen(arccos(3/5) - arccos(5/13))

b) cos(arcsen(7/25) - arccos(12/13)).

c) tg(2\*arccos(-3/5))

d) cos(1/2 arccos(7/25))

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de funções circulares inversas. Usando o passo a passo do exercício resolvido 375, e mais alguns conceitos aprendidos anteriormente, teremos:

Item a

Sabendo que:

s e n α - β = s e n α ∙ cos ⁡ β - s e n   β ∙ cos ⁡ α

E fazendo:

α = a r c cos ⁡ 3 5   e   β = a r c cos ⁡ 5 13

Teremos que:

α = a r c cos ⁡ 3 5 = > cos ⁡ α = 3 5   e   0 ≤ α ≤ π

E:

β = a r c cos ⁡ 5 13 = > cos ⁡ β = 5 13   e   0 ≤ β ≤ π

Logo:

s e n   α = + 1 - c o s 2 α = 1 - 3 5 2 = 1 - 9 25 = 16 25 = 4 5

E:

s e n   β = + 1 - c o s 2 β = 1 - 5 13 2 = 1 - 25 169 = 144 169 = 12 13

Passo 2

Daí, temos que:

s e n a r c cos ⁡ 3 5 - a r c cos ⁡ 5 13 = s e n α - β = s e n α ∙ cos ⁡ β - s e n   β ∙ cos ⁡ α =

= 4 5 ∙ 5 13 - 12 13 ∙ 3 5 = 20 65 - 36 65 = - 16 65

Passo 3

Item b

Sabendo que:

cos ⁡ α - β = cos ⁡ α ∙ cos ⁡ β + s e n α ∙ s e n   β

E fazendo:

α = a r c   s e n 7 25   e   β = a r c cos ⁡ 12 13

Teremos que:

α = a r c   s e n 7 25 = > s e n   α = 7 25   e - π 2 ≤ α ≤ π 2

E:

β = a r c cos ⁡ 12 13 = > cos ⁡ β = 12 13   e   0 ≤ β ≤ π

Logo:

cos ⁡ α = + 1 - s e n 2 α = 1 - 7 25 2 = 1 - 49 625 = 576 625 = 24 25

E:

s e n   β = + 1 - c o s 2 β = 1 - 12 13 2 = 1 - 144 169 = 25 169 = 5 13

Passo 4

Daí temos que:

cos ⁡ a r c   s e n 7 25 - a r c cos ⁡ 12 13 = cos ⁡ α - β = cos ⁡ α ∙ cos ⁡ β + s e n α ∙ s e n   β =

= 24 25 ∙ 12 13 + 7 25 ∙ 5 13 = 288 325 + 35 325 = 323 325

E é isso pessoal. Espero que a resolução tenha sido proveitosa para todos. Até mais.

Resposta

a ) - 16 65 ; b ) 323 325 .

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