Calcule.

∫ cos 2 ⁡ x sen 3 ⁡ x d x

Passo 1

Primeiro vamos fazer algumas manipulações na expressão, vamos usar que:

sen ⁡ x = 2 tg ⁡ x 2 1 + tg 2 ⁡ x 2

cos 2 ⁡ x = 1 - sen 2 ⁡ x

Assim:

∫ cos 2 ⁡ x sen 3 ⁡ x d x = ∫ 1 - sen 2 ⁡ x sen 3 ⁡ x d x = ∫ 1 - 2 tg ⁡ x 2 1 + tg 2 ⁡ x 2 2 2 tg ⁡ x 2 1 + tg 2 ⁡ x 2 3 d x

Para resolver essa integral vamos tentar fazer uma Substituição agora, vamos lá:

Vamos fazer a mudança de variável:

u = tg ⁡ x 2

Vamos agora achar a diferencial de u , derivando:

d u = 1 2 sec 2 ⁡ x 2 d x → d x = 2 sec 2 ⁡ x 2 d u

Passo 2

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ 1 - 2 tg ⁡ x 2 1 + tg 2 ⁡ x 2 2 2 tg ⁡ x 2 1 + tg 2 ⁡ x 2 3 d x = ∫ 1 - 2 u 1 + u 2 2 2 u 1 + u 2 3 ⋅ 2 sec 2 ⁡ x 2 d u = ∫ 2 1 - 2 u 1 + u 2 2 sec 2 ⁡ x 2 2 u 1 + u 2 3 d u = 2 ∫ 1 - 4 u 2 1 + u 2 2 sec 2 ⁡ x 2 8 u 3 1 + u 2 3 d u = 2 ∫ 1 + u 2 2 - 4 u 2 1 + u 2 2 1 + tg 2 ⁡ x 2 8 u 3 1 + u 2 3 d u = 2 ∫ 1 + u 2 2 - 4 u 2 1 + u 2 2   1 + u 2 8 u 3 1 + u 2 3 d u = 2 ∫ 1 + u 2 2 - 4 u 2 1 + u 2 2 1 + u 2 3 1 + u 2 8 u 3 d u = 2 ∫ 1 + 2 u 2 + u 4 - 4 u 2 8 u 3 d u = ∫ 1 - 2 u 2 + u 4 4 u 3 d u = = ∫ 1 4 u 3 - 2 u 2 4 u 3 + u 4 4 u 3 d u = ∫ 1 4 u 3 d u + ∫ - 1 2 u d u + ∫ u 4 d u = ∫ u - 3 4 d u - 1 2 ln ⁡ u + u 2 8 + C = - 1 8 u 2 - 1 2 ln ⁡ u + u 2 8 + C

Passo 3

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ cos 2 ⁡ x sen 3 ⁡ x d x = - 1 8 u 2 - 1 2 ln ⁡ u + u 2 8 + C = - 1 8 tg ⁡ x 2 2 - 1 2 ln ⁡ tg ⁡ x 2 + tg ⁡ x 2 2 8 + C

Resposta

∫ cos 2 ⁡ x sen 3 ⁡ x d x = - 1 8 tg ⁡ x 2 2 - 1 2 ln ⁡ tg ⁡ x 2 + tg ⁡ x 2 2 8 + C

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