Calcule a área do conjunto de todos (x, y) tais que x^2 + 2y^2 <= 3 e y >= x^2 .

Passo 1

Como se trata de uma questão extensa, vamos fazê-la por etapas!

Inicialmente, vamos definir:

E q . 1 : x 2 + 2 y 2 ≤ 3

E q . 2 : y ≥ x 2

Vamos isolar y na Eq.1:

x 2 + 2 y 2 ≤ 3

2 y 2 ≤ 3 - x 2

y 2 ≤ 3 - x 2 2

y ≤ 3 - x 2 2

Dada essa desigualdade, vamos ver o que ela significa geometricamente:

Como é definido que: y ≤ 3 - x 2 2 , sabemos que só serão aceitos valores de y ≥ 0 . Com isso, sabemos que nosso y será delimitado pela área do gráfico acima do eixo x e abaixo da curva dada.

Passo 2

Agora, vamos analisar a Eq.2:

y ≥ x 2

Dada essa desigualdade, vamos ver o que ela significa geometricamente:

Como é definido que: y ≥ x 2 sabemos que nosso y será delimitado pela área do gráfico acima da curva dada.

Passo 3

Com isso, vamos calcular a área do gráfico que obedece as duas desigualdades dadas:

Pelo gráfico, percebemos que nosso intervalo de integração será de -1 até 1.

Como a área do gráfico de uma função é dada por uma Integral de Riemman, é necessário lembrar que sempre A>0, logo, a função área dada pelas desigualdades será escrita como:

A x = ∫ - 1 1 3 - x 2 2 - x 2 d x

Passo 4

Vamos separar as integrais:

A x = ∫ - 1 1 3 - x 2 2 d x - ∫ - 1 1 x 2 d x

Com isso, iremos resolver as integrais separadamente:

∫ - 1 1 3 - x 2 2 d x

Para isso, vamos resolver, primeiro, as integrais indefinidas:

∫ 3 - x 2 2 d x = 1 2 ∫ 3 - x 2 d x

∫ 3 - x 2 2 d x = 1 2 ∫ 3 ( 1 - x 3 2 ) d x

∫ 3 - x 2 2 d x = 3 2 ∫ 1 - x 3 2 d x

Vamos definir:

x 3 = s e n ( θ )

d x = 3 cos ⁡ θ d θ

Então:

∫ 3 - x 2 2 d x = 3 2 ∫ 1 - s e n 2 ( θ ) 3 c o s ⁡ ( θ ) d θ

∫ 3 - x 2 2 d x = 3 2 ∫ 1 - s e n 2 ( θ ) c o s ⁡ ( θ ) d θ

Atenção:

1 - s e n 2 ( θ ) = c o s ⁡ ( θ )

∫ 3 - x 2 2 d x = 3 2 ∫ cos 2 ⁡ ( θ ) d θ

Onde a igualdade trigonométrica é válida:

cos 2 ⁡ θ = cos ⁡ 2 θ + 1 2

Agora, ficou mais fácil:

∫ 3 - x 2 2 d x = 3 2 ∫ ( cos ⁡ 2 θ + 1 2 ) d θ

∫ 3 - x 2 2 d x = 3 2 ( ∫ cos ⁡ 2 θ 2 d θ + ∫ 1 2 d θ )

∫ 3 - x 2 2 d x = 3 2 s e n 2 θ 4 + θ 2 + C 1

ATENÇÃO MÁXIMA:

x 3 = s e n θ ⇒ θ = a r c s e n ( x 3 )

s e n 2 θ = 2 s e n θ cos ⁡ θ = 2 x 3 3 - x 2 3 = 2 x 3 3 - x 2

Agora, vamos substituir na nossa equação:

∫ 3 - x 2 2 d x = 1 2 2 x 3 - x 2 + 3 a r c s e n ( x 3 ) + C 1

Agora, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo no intervalo ( - 1,1 ) para achar o valor da integral definida:

∫ - 1 1 3 - x 2 2 d x = 1 2 2 x 3 - x 2 + 3 a r c s e n ( x 3 ) 1 - 1        

∫ - 1 1 3 - x 2 2 d x = 2.30   u . a

Passo 5

Por fim, iremos resolver:

∫ - 1 1 x 2 d x

Inicialmente, vamos resolver a integral indefinida:

∫ x 2 d x = x 3 3 + C 2

Vamos usar, novamente, o Teorema Fundamental do Cálculo no intervalo ( - 1,1 ) para achar o valor da integral definida:

∫ - 1 1 x 2 d x = x 3 3 1 - 1

∫ - 1 1 x 2 d x = 0.66   u . a

Passo 6

Por fim:

A x = ∫ - 1 1 3 - x 2 2 d x - ∫ - 1 1 x 2 d x = 2.30 - 0.66

A = 1.64   u . a

Resposta

A = 1.64   u . a

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