Enunciado

Calcule a área do conjunto de todos ( x , y ) tais que x^2 + 2 y^2 <= 3 e y >= x^2 .

Passo 1

Como se trata de uma questão extensa, vamos fazê-la por etapas!

Inicialmente, vamos definir:

E q . 1 : x^2 + 2 y^2 <= 3

E q . 2 : y >= x^2

Vamos isolar y na Eq.1:

x^2 + 2 y^2 <= 3

2 y^2 <= 3 - x^2

y^2 <= (3 - x^2)/(2)

y <= sqrt((3 - x^2)/(2))

Dada essa desigualdade, vamos ver o que ela significa geometricamente:

Como é definido que: y <= sqrt((3 - x^2)/(2)) , sabemos que só serão aceitos valores de y >= 0 . Com isso, sabemos que nosso y será delimitado pela área do gráfico acima do eixo x e abaixo da curva dada.

Passo 2

Agora, vamos analisar a Eq.2:

y >= x^2

Dada essa desigualdade, vamos ver o que ela significa geometricamente:

Como é definido que: y >= x^2 sabemos que nosso y será delimitado pela área do gráfico acima da curva dada.

Passo 3

Com isso, vamos calcular a área do gráfico que obedece as duas desigualdades dadas:

Pelo gráfico, percebemos que nosso intervalo de integração será de -1 até 1.

Como a área do gráfico de uma função é dada por uma Integral de Riemman, é necessário lembrar que sempre A>0, logo, a função área dada pelas desigualdades será escrita como:

A (x) = int_(- 1)^1 (sqrt((3 - x^2)/(2)) - x^2) d x

Passo 4

Vamos separar as integrais:

A (x) = int_(- 1)^1 sqrt((3 - x^2)/(2)) d x - int_(- 1)^1 x^2 d x

Com isso, iremos resolver as integrais separadamente:

int_(- 1)^1 sqrt((3 - x^2)/(2)) d x

Para isso, vamos resolver, primeiro, as integrais indefinidas:

int sqrt((3 - x^2)/(2)) d x = (1)/(sqrt(2)) int sqrt(3 - x^2) d x

int sqrt((3 - x^2)/(2)) d x = (1)/(sqrt(2)) int sqrt(3 ( 1 - ((x)/(sqrt(3)))^2 )) d x

int sqrt((3 - x^2)/(2)) d x = (sqrt(3))/(sqrt(2)) int sqrt(1 - ((x)/(sqrt(3)))^2) d x

Vamos definir:

(x)/(sqrt(3)) = s e n ( theta )

d x = sqrt(3) cos (theta) d theta

Então:

int sqrt((3 - x^2)/(2)) d x = (sqrt(3))/(sqrt(2)) int sqrt(1 - s e n^2 ( theta )) sqrt(3) c o s ( theta ) d theta

int sqrt((3 - x^2)/(2)) d x = (3)/(sqrt(2)) int sqrt(1 - s e n^2 ( theta )) c o s ( theta ) d theta

Atenção:

sqrt(1 - s e n^2 ( theta )) = c o s ( theta )

int sqrt((3 - x^2)/(2)) d x = (3)/(sqrt(2)) int cos^2 ( theta ) d theta

Onde a igualdade trigonométrica é válida:

cos^2 (theta) = (cos (2 theta) + 1)/(2)

Agora, ficou mais fácil:

int sqrt((3 - x^2)/(2)) d x = (3)/(sqrt(2)) int ( (cos (2 theta) + 1)/(2) ) d theta

int sqrt((3 - x^2)/(2)) d x = (3)/(sqrt(2)) ( int (cos (2 theta))/(2) d theta + int (1)/(2) d theta )

int sqrt((3 - x^2)/(2)) d x = (3)/(sqrt(2)) ((s e n (2 theta))/(4) + (theta)/(2)) + C_1

ATENÇÃO MÁXIMA:

(x)/(sqrt(3)) = s e n (theta) => theta = a r c s e n ( (x)/(sqrt(3)) )

s e n (2 theta) = 2 s e n (theta) cos (theta) = 2 (x)/(sqrt(3)) sqrt((3 - x^2)/(3)) = (2 x)/(3) sqrt(3 - x^2)

Agora, vamos substituir na nossa equação:

int sqrt((3 - x^2)/(2)) d x = (1)/(2 sqrt(2)) (x sqrt(3 - x^2) + 3 a r c s e n ( (x)/(sqrt(3)) )) + C_1

Agora, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo no intervalo ( - 1,1 ) para achar o valor da integral definida:

int_(- 1)^1 sqrt((3 - x^2)/(2)) d x = (1)/(2 sqrt(2)) (x sqrt(3 - x^2) + 3 a r c s e n ( (x)/(sqrt(3)) )) {[[1],[- 1]])

int_(- 1)^1 sqrt((3 - x^2)/(2)) d x = 2.30 u . a

Passo 5

Por fim, iremos resolver:

int_(- 1)^1 x^2 d x

Inicialmente, vamos resolver a integral indefinida:

int x^2 d x = (x^3)/(3) + C_2

Vamos usar, novamente, o Teorema Fundamental do Cálculo no intervalo ( - 1,1 ) para achar o valor da integral definida:

int_(- 1)^1 x^2 d x = (x^3)/(3) {[[1],[- 1]])

int_(- 1)^1 x^2 d x = 0.66 u . a

Passo 6

Por fim:

A (x) = int_(- 1)^1 sqrt((3 - x^2)/(2)) d x - int_(- 1)^1 x^2 d x = 2.30 - 0.66

A = 1.64 u . a

Resposta

A = 1.64 u . a

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