Calcule:

∫ x + 3 x - 1 2 d x

Passo 1

Para resolvermos essa questão usaremos o seguinte teorema e, também, método de resolução de integrais, muito conhecido como Frações Parciais:

Sejam α ,   β ,   m   e   n reais dados, com α ≠ β . Então existem constantes A   e   B tais que:

a )   m x + n ( x - α ) ( x - β ) = A ( x - α ) + B ( x - β ) ;

b ) m x + n x - α 2 = A ( x - α ) + B x - α 2 .

Atenção: o Teorema só é válido para quando o grau do numerador é MENOR do que o grau do denominador!!!

Vamos aplicar o teorema:

x + 3 x - 1 2 = A ( x - 1 ) + B x - 1 2

Aplicando o MMC, passamos a ter:

x + 3 x - 1 2 = A x - 1 + B x - 1 2

Como temos uma igualdade com denominadores iguais, vamos analisar, por comparação, apenas os numeradores:

x + 3 = A x - 1 + B

Vamos ditar valores para x para que consigamos zerar uma constante e trabalhar com apenas uma incógnita:

Para x = 1 :

B = 3 + 1

B = 4

Para x = 2 :

5 = 4 + A

A = 1

Então, por fim, podemos reescrever nossa integral final como sendo:

∫ x + 3 x - 1 2 d x = ∫ 1 x - 1 d x + ∫ 4 x - 1 2 d x

Passo 2

Vamos resolver separadamente as integrais:

E q . 1 = ∫ 1 x - 1 d x

E q . 2 = ∫ 4 x - 1 2 d x

Lembrando:

∫ x n   d x = x n + 1 n + 1 ; n ≠ - 1

∫ 1 m x + n d x = 1 m l n | m x + n |

Será resolvida da seguinte forma a Eq.1:

∫ 1 x - 1 d x = l n x - 1 + C 1

Agora, vamos resolver nossa Eq.2:

∫ 4 x - 1 2 d x = 4 ∫ 1 x - 1 2 d x

∫ 4 x - 1 2 d x = - 4 ( x - 1 ) + C 2

Vamos somar Eq.1+Eq.2 para obter nossa solução:

E q . 1 + E q . 2 = ln ⁡ x - 1 + C 1 - 4 ( x - 1 ) + C 2

Vamos adotar: C 1 + C 2 = C , sendo C uma constante real.

Logo, por fim:

∫ x + 3 x - 1 2 d x = ln ⁡ x - 1 - 4 ( x - 1 ) + C

Resposta

∫ x + 3 x - 1 2 d x = = ln ⁡ x - 1 - 4 ( x - 1 ) + C

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