Calcule a derivada.

y = ln((1 + tg(x / 2)) / (1 - tg(x / 2)))

Passo 1

Aqui de cara dá pra ver que vamos usar a regra da cadeia:

f ' x = f ' g x ⋅ g ' x

Temos que g x é a função mais de dentro e f x a função mais de fora:

u = g x = 1 + tg ⁡ x 2 1 - tg ⁡ x 2

f u = ln ⁡ u

Assim temos então que:

y ' = f ' g x ⋅ g ' x = ln ⁡ u ' ⋅ 1 + tg ⁡ x 2 1 - tg ⁡ x 2 '

Passo 2

Vamos ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra da função constante, da função logarítmica natural, do polinômio, da função trigonométrica e da divisão:

c ' = 0

ln ⁡ f x ' = 1 f x ⋅ f ( x ) '

x n ' = n x n - 1

tg ⁡ x ' = sec 2 ⁡ x

f x g x ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2

Passo 3

Primeiro vamos calcular f ' g x :

f ' g x = ln ⁡ u ' = 1 u ⋅ u ' = 1 u ⋅ u 1 - 1 = 1 u ⋅ u 0 = 1 u ⋅ 1 = 1 u

Agora para g ' x :

g ' x = 1 + tg ⁡ x 2 1 - tg ⁡ x 2 ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2 = 1 + tg ⁡ x 2 ' 1 - tg ⁡ x 2 - 1 + tg ⁡ x 2 1 - tg ⁡ x 2 ' 1 - tg ⁡ x 2 2 = 0 + sec 2 ⁡ x 2 x 2 ' 1 - tg ⁡ x 2 - 1 + tg ⁡ x 2 0 - sec 2 ⁡ x 2 x 2 ' 1 - tg ⁡ x 2 2 = sec 2 ⁡ x 2 1 2 x 1 - 1 1 - tg ⁡ x 2 - 1 + tg ⁡ x 2 - sec 2 ⁡ x 2 1 2 x 1 - 1 1 - tg ⁡ x 2 2 = sec 2 ⁡ x 2 1 2 x 0 1 - tg ⁡ x 2 - 1 + tg ⁡ x 2 - sec 2 ⁡ x 2 1 2 x 0 1 - tg ⁡ x 2 2 = sec 2 ⁡ x 2 1 2 ⋅ 1 1 - tg ⁡ x 2 - 1 + tg ⁡ x 2 - sec 2 ⁡ x 2 1 2 ⋅ 1 1 - tg ⁡ x 2 2 = 1 2 sec 2 ⁡ x 2 1 - tg ⁡ x 2 - 1 + tg ⁡ x 2 - 1 2 sec 2 ⁡ x 2 1 - tg ⁡ x 2 2 = 1 2 sec 2 ⁡ x 2 - 1 2 sec 2 ⁡ x 2 tg ⁡ x 2 + 1 2 sec 2 ⁡ x 2 + 1 2 sec 2 ⁡ x 2 tg ⁡ x 2 1 - tg ⁡ x 2 2 = sec 2 ⁡ x 2 1 - tg ⁡ x 2 2

Passo 4

Pronto, agora é só substituir na expressão:

y ' = 1 u ⋅ sec 2 ⁡ x 2 1 - tg ⁡ x 2 2 = 1 u ⋅ sec 2 ⁡ x 2 1 - tg ⁡ x 2 2

E por último é só substituir de volta a substituição que fizemos com u :

y ' = 1 1 + tg ⁡ x 2 1 - tg ⁡ x 2 ⋅ sec 2 ⁡ x 2 1 - tg ⁡ x 2 2 = sec 2 ⁡ x 2 1 + tg ⁡ x 2 1 - tg ⁡ x 2 = sec 2 ⁡ x 2 1 + tg ⁡ x 2 1 - tg ⁡ x 2

Resposta

y ' = sec 2 ⁡ x 2 1 + tg ⁡ x 2 1 - tg ⁡ x 2

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