Calcule a derivada.

y = e^(-3x)(cos(3x) - sen(3x))

Passo 1

Aqui de cara dá pra ver que vamos usar a regra do produto:

f x g x ' = f ' ( x ) g x + g ' x f x

Temos que:

f x = e - 3 x

e

g x = cos ⁡ 3 x - sen ⁡ 3 x

y ' = e - 3 x cos ⁡ 3 x - sen ⁡ 3 x ' = f ' x g x + g ' x f x = e - 3 x ' ⋅ cos ⁡ 3 x - sen ⁡ 3 x + cos ⁡ 3 x - sen ⁡ 3 x ' ⋅ e - 3 x

Passo 2

Para calcular as derivadas vamos usar a regra da função exponencial, da função trigonométrica e do polinômio, além da regra da cadeia, que já está aplicada em algumas fórmulas:

e f x ' = e f x ⋅ f ' ( x )

sen ⁡ x ' = cos ⁡ x

cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x

x n ' = n x n - 1

y ' = f ' g x ⋅ g ' x

Passo 3

Para calcular f ' x vamos usar a regra da função exponencial e do polinômio:

f ' ( x ) = e - 3 x ' = e - 3 x ⋅ - 3 x ' = e - 3 x ⋅ - 3 x 1 - 1 = e - 3 x ⋅ - 3 x 0 = e - 3 x ⋅ - 3 ⋅ 1 = - 3 e - 3 x

Com g ' ( x ) usamos a regra da função trigonométrica e a do polinômio:

g ' x = cos ⁡ 3 x - sen ⁡ 3 x ' = - sen ⁡ 3 x ⋅ 3 x ' - cos ⁡ 3 x ⋅ 3 x ' = - sen ⁡ 3 x ⋅ 3 x 1 - 1 - cos ⁡ 3 x ⋅ 3 x 1 - 1 = - sen ⁡ 3 x ⋅ 3 x 0 - cos ⁡ 3 x ⋅ 3 x 0 = - sen ⁡ 3 x ⋅ 3 ⋅ 1 - cos ⁡ 3 x ⋅ 3 ⋅ 1 = - 3 sen ⁡ 3 x - 3 cos ⁡ 3 x

Passo 4

Agora é só substituir na expressão:

y ' = e - 3 x cos ⁡ 3 x - sen ⁡ 3 x ' = e - 3 x ' ⋅ cos ⁡ 3 x - sen ⁡ 3 x + cos ⁡ 3 x - sen ⁡ 3 x ' ⋅ e - 3 x = - 3 e - 3 x ⋅ cos ⁡ 3 x - sen ⁡ 3 x + - 3 sen ⁡ 3 x - 3 cos ⁡ 3 x ⋅ e - 3 x = - 3 e - 3 x cos ⁡ 3 x + 3 e - 3 x sen ⁡ 3 x - 3 e - 3 x sen ⁡ 3 x - 3 e - 3 x cos ⁡ 3 x = - 6 e - 3 x cos ⁡ 3 x

Resposta

y ' = - 6 e - 3 x cos ⁡ 3 x

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