1. Calcule:

∫   ( 3 x - 2 ) d x

Passo 1

Uma questão que precisaremos fazer uma simples substituição, mas vamos com calma e atenção, não subestime a força de uma integral hein e lembre-se precisamos escrever todos os termos da integral em função de uma nova variável u , sem mais delongas, vamos lá!

Vamos primeiro fazer uma mudança de variável, chamaremos 3 x - 2 de   u :

u = 3 x - 2

Temos que ter TODOS os termos em função de u , inclusive d x e como faremos isso? Sem estresse, iremos derivar a expressão:

( u ) ' = ( 3 x - 2 ) '

d u = 3 d x

Isolando d x , para facilitar a visualização:

d x = d u 3

Passo 2

Temos todos os “integrantes “   da integral em função de u, anotando eles para não esquecermos:

u = 3 x - 2

d x = d u 3

Fazendo aquela substituição marota, temos:

∫   3 x - 2 d x = ∫ u   d u 3  

Botando a fração 1 3 na frente da integral, escreveremos assim:

∫ ( 3 x - 2 ) d x = ∫ u   d u 3 = 1 3 ∫ u 1 / 2 d u

Passo 3

Lembrando que a integral de   ∫ u n d u = 1 n + 1 u n + 1 + c

Na nossa integral, utilizaremos n = 1 2 , teremos então:

∫ u 1 / 2 d u = 2 3 u 3 / 2   + c

Como queremos 1 / 3 disso

1 3 ∫ u 1 / 2 d u = 1 3 2 3 u 3 / 2     + c = 2 9 u 3 / 2 + c

Não esqueça que queremos a integral em função de x , u foi apenas uma ferramenta para resolvermos, então voltando a variável do problema: u = 3 x - 2

E obteremos a resposta:

∫ 3 x - 2 d x = 2 9 3 x - 2 3 / 2 + c

Resposta

∫ 3 x - 2 d x = 2 9 3 x - 2 3 / 2 + c

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