Enunciado

  1. Calcule:

int sqrt(( 3 x - 2 )) d x

Passo 1

Uma questão que precisaremos fazer uma simples substituição, mas vamos com calma e atenção, não subestime a força de uma integral hein e lembre-se precisamos escrever todos os termos da integral em função de uma nova variável u , sem mais delongas, vamos lá!

Vamos primeiro fazer uma mudança de variável, chamaremos 3 x - 2 de u :

u = 3 x - 2

Temos que ter TODOS os termos em função de u , inclusive d x e como faremos isso? Sem estresse, iremos derivar a expressão:

( u ) ' = ( 3 x - 2 ) '

d u = 3 d x

Isolando d x , para facilitar a visualização:

d x = (d u)/(3)

Passo 2

Temos todos os “integrantes “ da integral em função de u, anotando eles para não esquecermos:

u = 3 x - 2

d x = (d u)/(3)

Fazendo aquela substituição marota, temos:

int sqrt((3 x - 2)) d x = int sqrt(u) (d u)/(3)

Botando a fração (1)/(3) na frente da integral, escreveremos assim:

int sqrt(( 3 x - 2 )) d x = int sqrt(u) (d u)/(3) = (1)/(3) int u^(1 // 2) d u

Passo 3

Lembrando que a integral de int u^n d u = (1)/(n + 1) u^(n + 1) + c

Na nossa integral, utilizaremos n = (1)/(2) , teremos então:

int u^(1 // 2) d u = (2)/(3) u^(3 // 2) + c

Como queremos 1 // 3 disso

(1)/(3) int u^(1 // 2) d u = (1)/(3) ((2)/(3) u^(3 // 2 ) + c) = (2)/(9) u^(3 // 2) + c

Não esqueça que queremos a integral em função de x , u foi apenas uma ferramenta para resolvermos, então voltando a variável do problema: u = 3 x - 2

E obteremos a resposta:

int sqrt(3 x - 2) d x = (2)/(9) (3 x - 2)^(3 // 2) + c

Resposta

int sqrt(3 x - 2) d x = (2)/(9) (3 x - 2)^(3 // 2) + c

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