Calcule a derivada.

f(x) = (x \* tg(3x)) / (x^2 + 4)

Passo 1

Aqui de cara dá pra ver que vamos usar a regra da divisão:

f ' x = g ' x h x - g x h ' x h x 2

Onde:

g x = x tg ⁡ 3 x

e

h x = x 2 + 4

Assim temos então que:

x tg ⁡ 3 x x 2 + 4 ' = g ' t h t - g t h ' t h t 2 = x tg ⁡ 3 x ' x 2 + 4 - x tg ⁡ 3 x x 2 + 4 ' x 2 + 4 2

Passo 2

Vamos ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra da função constante, da função trigonométrica e do polinômio, além da regra da cadeia:

c ' = 0

tg ⁡ x ' = sec 2 ⁡ x

x n ' = n x n - 1

y ' = f ' g x ⋅ g ' x

Passo 3

Primeiro vamos calcular g ' x , vamos ter que usar a regra do produto:

r x s x ' = r ' x s x + s ' x r x

Com:

r x = x

s x = tg ⁡ 3 x

Vamos calcular:

g ' x = x tg ⁡ 3 x ' = r ' x s x + s ' x r x = x ' tg ⁡ 3 x + tg ⁡ 3 x ' x = x 1 - 1 tg ⁡ 3 x + sec 2 ⁡ 3 x 3 x ' x = x 0 tg ⁡ 3 x + x sec 2 ⁡ 3 x 3 x 1 - 1 = 1 tg ⁡ 3 x + x sec 2 ⁡ 3 x 3 x 0 = tg ⁡ 3 x + x sec 2 ⁡ 3 x 3 ⋅ 1 = tg ⁡ 3 x + 3 x sec 2 ⁡ 3 x  

Agora para h ' x :

h ' x = x 2 + 4 ' = 2 x 2 - 1 + 0 = 2 x

Passo 4

Pronto, agora é só substituir na expressão:

f ' x = x tg ⁡ 3 x x 2 + 4 ' = x tg ⁡ 3 x ' x 2 + 4 - x tg ⁡ 3 x x 2 + 4 ' x 2 + 4 2 = tg ⁡ 3 x + 3 x sec 2 ⁡ 3 x x 2 + 4 - x tg ⁡ 3 x 2 x x 2 + 4 2 = x 2 tg ⁡ 3 x + 3 x 3 sec 2 ⁡ 3 x + 4 tg ⁡ 3 x + 12 x sec 2 ⁡ 3 x - 2 x 2 tg ⁡ 3 x x 2 + 4 2 = - x 2 tg ⁡ 3 x + 3 x 3 sec 2 ⁡ 3 x + 4 tg ⁡ 3 x + 12 x sec 2 ⁡ 3 x x 2 + 4 2

Resposta

f ' x = - x 2 tg ⁡ 3 x + 3 x 3 sec 2 ⁡ 3 x + 4 tg ⁡ 3 x + 12 x sec 2 ⁡ 3 x x 2 + 4 2

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