Calcule a derivada segunda.

y = e^(-x^2)

Passo 1

Vamos analisar a função, ela é uma função exponencial, vamos ter então que usar a fórmula da função exponencial e derivada de polinômio, além da regra da cadeia para achar y ' :

e f x ' = e f x ⋅ f ( x ) '

x n ' = n x n - 1

f ' x = f ' g x ⋅ g ' x

Agora é só aplicar, vamos lá?

y ' = e - x 2 ' = e - x 2 ⋅ - x 2 ' = e - x 2 ⋅ - 2 x 2 - 1 = e - x 2 ⋅ - 2 x = - 2 x e - x 2

Passo 2

Para calcular a segunda derivada vamos usar as mesmas regra, porém vamos usar mais uma, a regra do produto, derivando agora y ' :

f x g x ' = f ' x g x + g ' x f x

Temos que:

f x = - 2 x

e

g x = e - x 2

Assim:

y ' ' = y ' ' = - 2 x e - x 2 ' = - 2 x ' e - x 2 + e - x 2 ' - 2 x = - 2 x 1 - 1 e - x 2 + - 2 x e - x 2 - 2 x = - 2 x 0 e - x 2 + 4 x 2 e - x 2 = - 2 ⋅ 1 e - x 2 + 4 x 2 e - x 2 = - 2 e - x 2 + 4 x 2 e - x 2 = 2 e - x 2 - 1 + 2 x 2

Resposta

y ' ' = 2 e - x 2 - 1 + 2 x 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados