Calcule a derivada segunda.

y = sen(cos(x))

Passo 1

Vamos analisar a função, ela é uma função trigonométrica, vamos ter então que usar a fórmula da função trigonométrica, além da regra da cadeia para achar y ' :

sen ⁡ x ' = cos ⁡ x

cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x

f ' x = f ' g x ⋅ g ' x

Agora é só aplicar, vamos lá?

y ' = sen ⁡ cos ⁡ x ' = cos ⁡ cos ⁡ x ⋅ cos ⁡ x ' = cos ⁡ cos ⁡ x ⋅ - sen ⁡ x = - sen ⁡ x cos ⁡ cos ⁡ x

Passo 2

Para calcular a segunda derivada vamos usar as mesmas regra, porém vamos usar mais uma, a regra do produto, derivando agora y ' :

f x g x ' = f ' x g x + g ' x f x

Temos que:

f x = - sen ⁡ x

e

g x = cos ⁡ cos ⁡ x

Assim:

y ' ' = y ' ' = - sen ⁡ x cos ⁡ cos ⁡ x = f ' x g x + g ' x f x = - sen ⁡ x ' cos ⁡ cos ⁡ x + cos ⁡ cos ⁡ x ' - sen ⁡ x = - cos ⁡ x cos ⁡ cos ⁡ x + - sen ⁡ cos ⁡ x ⋅ cos ⁡ x ' - sen ⁡ x = - cos ⁡ x cos ⁡ cos ⁡ x + - sen ⁡ cos ⁡ x ⋅ - sen ⁡ x - sen ⁡ x = - cos ⁡ x cos ⁡ cos ⁡ x - sen 2 ⁡ x sen ⁡ cos ⁡ x

Resposta

y ' ' = - cos ⁡ x cos ⁡ cos ⁡ x - sen 2 ⁡ x sen ⁡ cos ⁡ x

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