Enunciado

Nos Exercícios 23-50, determine as derivadas das funções.

39. h x = x . t g   2 x + 7

Passo 1

Então galera, de início notamos que se trata de um produto entre duas funções, não é mesmo? Sabendo disso, podemos pensar na regra do produto como um dos melhores métodos para resolver essa derivada. Lembrando que a regra do produto nos diz que:

h ( x ) = f ( x ) . g ( x )

∴ ( h x ) ' = f x ' . g x + f x . ( g x ) '

Escrevendo quem seria f e quem seria g , depois que encontrarmos suas derivadas, o resultado seria só substituir na regra comentada.

f x = x

g x =   t g   2 x

Vale comentar também que aquele número 7 somando não alterará em nada o valor da derivada, uma vez que a derivada de uma constante é zero.

Passo 2

Agora que já sabemos o que precisa ser encontrado, descobrindo primeiro f ' , teremos:

f x ' = 1 . x 1 - 1

∴ f x ' = 1

Passo 3

Para derivarmos g usaremos a regra da cadeia, tranquilo?

g x = t g   2 x  

u = 2 x   ⇒ d u d x = 2 . 1 2 x - 1 2 = x - 1 2

g ( u ) = t g   ( u ) ⇒ d g d u = s e c 2 ( u )

A regra da cadeia nos diz que:

( g x ) ' = d g d u × d u d x  

g x ' = s e c 2 u . x - 1 2

∴ g x ' = s e c 2 2 x . x - 1 2

Passo 4

Agora que encontramos f ' e g ' , basta que coloquemos dentro da regra do produto que discutimos no começo, beleza? Fazendo isso, teremos:

h x ' = f x ' . g x + f x . g x '

( h x ) ' = t g   2 x + x . s e c 2 2 x . x - 1 2

∴ ( h x ) ' = t g   2 x + x . s e c 2 2 x

Resposta

∴ ( h x ) ' = t g   2 x + x . s e c 2 2 x

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