Calcule a derivada

y = (2 + sen x)^x

Passo 1

Nessas questões com funções sendo elevadas a funções, o macete é escrever dessa forma:

y = e ln ⁡ y

Então a nossa função vai ficar assim: y = 2 + s e n x x = e ln ⁡ 2 + s e n x x

E aí, usando a propriedade de logaritmo, ln b ⁡ a c = c l n b a , vamos ficar com:

y = e x l n 2 + s e n x

Passo 2

Beleza, a função já está ajeitadinha do jeito mais conveniente. Agora vamos derivar! Não pode esquecer da regra da cadeia, hein!

d d x 2 + sen ⁡ x x = d d x e x l n 2 + s e n x

Essa função tá com a cara de e f x . A derivada desse uma função assim é dada por:

d d x e f x = e f x ⋅ d d x f x

Então vai ficar assim, ó:

d d x e x l n 2 + s e n x = e x l n 2 + s e n x ⋅ d d x x ⋅ ln ⁡ 2 + sen ⁡ x

Passo 3

Beleza, vamos fazer agora mais um passo, pra podermos calcular a derivada desse termo que apareceu na cadeia.

d d x x ⋅ ln ⁡ 2 + sen ⁡ x

Pra derivar isso, vamos usar a regra do produto!

d d x x ⋅ ln ⁡ 2 + sen ⁡ x = ln ⁡ 2 + s e n x ⋅ d d x x + x ⋅ d d x ln ⁡ 2 + s e n x

Aqui aparece a derivada de l n . Como já sabemos,

d d x ln ⁡ g x = 1 g x ⋅ d d x g x  

Usando isso, vamos obter:

d d x x ⋅ ln ⁡ 2 + sen ⁡ x = ln ⁡ 2 + s e n x + x ⋅ 1 2 + s e n x ⋅ d d x 2 + s e n x

Essa é fácil, derivada de função trigonométrica!

d d x s e n x = c o s x

Vai ficar:

d d x x ⋅ ln ⁡ 2 + sen ⁡ x = ln ⁡ 2 + s e n x + x ⋅ c o s x 2 + s e n x

Passo 4

Beleza, agora é só substituir na derivada que estávamos calculando!

d d x e x l n 2 + s e n x = e x l n 2 + s e n x ⋅ d d x x ⋅ ln ⁡ 2 + sen ⁡ x

d d x e x l n 2 + s e n x = e x l n 2 + s e n x ln ⁡ 2 + s e n x + x ⋅ c o s x 2 + s e n x

Voltando com aquela primeira parcela para a forma original dela:

d d x e x l n 2 + s e n x = 2 + s e n x x ln ⁡ 2 + s e n x + x ⋅ c o s x 2 + s e n x

Resposta

d y d x = 2 + s e n x x ln ⁡ 2 + s e n x + x ⋅ c o s x 2 + s e n x

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