Enunciado

Calcule ∬ S F ⋅ n d s   nos exercícios abaixo:

F ( x , y , z ) = ( x , y , z ) e S   é o triângulo de vértices ( 1,0 , 0 ) , ( 0,1 , 0 ) e ( 0,0 , 1 ) , onde o vetor normal n tem componente z não negativa.

Passo 1

Bom galera, o exercício nos pede para calcular ∬ S F ⋅ n d s e nos dá as informações de que F ( x , y , z ) = ( x , y , z ) e que

S   : triângulo de vértices ( 1,0 , 0 ) , ( 0,1 , 0 ) e ( 0,0 , 1 ) ,

com vetor normal n exterior com componente z > 0 .

Olhando para o plano x y , nós temos D , observe:

Logo, o intervalo de convergência é dado por:

0 ≤ y ≤ 1  

0 ≤ x ≤ y - 1

Assim,

S : x + y + z = 1

N = ( 1,1 , 1 )

φ x , y = x , y , 1 - x - y )

Passo 2

Já podemos montar nossa integral:

∬ S F ⋅ n d s = ∬ D f ( φ x , y ⋅ N ( φ x , y d x d y

⇒ ∬ D f ( φ x , y ⋅ N ( φ x , y d x d y = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - y x , y , 1 - x - y ⋅ 1,1 , 1 d x d y = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - y x + y + 1 - x - y   d x d y

Passo 3

Resolvendo a integral de dentro:

∫ 0 1 x 0 1 - y d y = ∫ 0 1 1 - y d y  

Passo 4

Agora, resolvendo a integral de fora:

∫ 0 1 1 - y d y   = y - y 2 2 1 0 = 1 - 1 2 = 1 2 .

Resposta

1 2

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