Enunciado

Calcule a inclinação da reta tangente para a curva polar dada no ponto especificado pelo valor de θ .

r = s e n   3 θ ,                     θ = π / 6

Passo 1

O exercício fornece uma curva em coordenadas polares e pede para acharmos a inclinação da tangente em um determinado ponto. Para isso, lembre-se que

x = r cos ⁡ θ                 e                     y = r   s e n   θ

Portanto,

x = s e n   3 θ cos ⁡ θ                   e                       y = s e n   3 θ   s e n   θ

Além disso, a inclinação da tangente é

d y d x = d y d θ d x d θ

Passo 2

Vamos calcular as derivadas:

d x d θ = 3 cos ⁡ 3 θ cos ⁡ θ - s e n   3 θ   s e n   θ

d y d θ = 3 cos ⁡ 3 θ   s e n   θ + s e n   3 θ cos ⁡ θ

Usando θ = π / 6 :

d x d θ = 3 cos ⁡ π 2 cos ⁡ π 6 - s e n   π 2   s e n   π 6 = - 1 2

d y d θ = 3 cos ⁡ π 2   s e n   π 6 + s e n   π 2 cos ⁡ π 6 = 3 2

Portanto,

d y d x = 3 2 - 1 2

Logo,

d y d x = - 3

Resposta

d y d x = - 3

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