Enunciado

Nos Exercícios 1-14, encontre uma equação para a reta tangente à curva no ponto definido pelo valor dado de t. Encontre também o valor de d 2 y / d x 2 nesse ponto.

5. x = t ,   y = t ,   t = 1 / 4

Passo 1

Fala, pessoal! Mais uma questãozinha de curvas paramétricas, não é? Bora lá!

Para resolver essa questão, temos que calcular a reta tangente à curva, no ponto dado e também o valor de d 2 y / d x 2 nesse ponto. Começamos identificando o ponto, depois calculamos o coeficiente angular da reta usando a fórmula

y ' = d y d x = d y / d t d x / d t

e calculamos d 2 y / d x 2 usando a seguinte fórmula

d 2 y d x 2 = d y ' / d t d x / d t .

Vamos fazer isso nos próximos passos.

Passo 2

Em t = 1 / 4 , nós temos o ponto

x = t = 1 4

e

y = t = 1 4 = 1 2

Ou seja, vamos calcular tudo no ponto ( x , y ) = ( 1 4 , 1 2 ) .

Passo 3

Nesse passo, vamos calcular as derivadas que são necessárias:

d x d t = 1

d y d t = 1 2 t

Assim, conseguimos o coeficiente angular da curva

y ' = d y d x = d y / d t d x / d t = 1 / 2 t 1 = 1 2 t

Antes de calcular a reta tangente, vamos usar y ' para calcular

d y ' d t = - 1 4 t 3 / 2

Agora, podemos obter

d 2 y d x 2 = d y ' / d t d x / d t = - 1 4 t 3 / 2 1 = - 1 4 t 3 / 2

Aplicando no ponto t = 1 / 4 , nós temos

d 2 y d x 2 = - 1 4 t 3 / 2 | t = 1 / 4 = - 1 4 ( 1 4 ) 3 / 2 = - 2

Passo 4

Por último, mas não menos importante, vamos calcular a reta tangente à curva no ponto ( 1 4 , 1 2 ) . Para isso, precisamos do coeficiente angular, que é 1 2 t | t = 1 / 4 = 1 :

y - 1 4 = 1 ⋅ ( x - 1 2 )

⇒ y - 1 4 = 1 2 + x

⇒ y = x + 3 4

Nos vemos na próxima!

Resposta

y = x + 3 4

d 2 y d x 2 = - 2

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Dada a curva r = k , onde k é uma constante não-nula e α é a medida em radianos da inclinação da reta tangente à curva no ponto r ,θ . Mostre que t g α t g θ = - 1 para todo θ tal que θ ≠ 0 .
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