Enunciado

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Calcule a integra ∫ cos ⁡ x d x   Algumas integrais não requerem integração por partes.

Passo 1

O enunciado pede que para resolvermos essa integral e afirma que nem todas as integrais são calculadas por meio de integração por partes. Nessa questão usaremos primeiro o método da substituição. Em seguida usaremos integração por partes.

Passo 2

Vamos começar com uma substituição:

w =   x

d w = x ' d x

d w = 1 2 . 1 x   d x

d x = 2 . x   d w

∫ cos ⁡ x d x = ∫ cos ⁡ x . 2 . x   d w  

= ∫ cos ⁡ w . 2 . w   d w  

= 2 . ∫ cos ⁡ w . w   d w  

Passo 3

Agora para continuar desenvolvendo iremos integrar por partes ∫ cos ⁡ w . w   d w :

Escolhendo o valor de “u” e de “dv”, sendo que “u” é o valor que será derivado e o de “dv” será integrado.

u   =   w

    Pois é o valor mais simples de derivar    

d u   =   ( w ) ’ .   d w        

d u   =   d w        

    d v   = cos ⁡ w   d w

  v = ∫ cos ⁡ w   d w

v = s e n   w

Substituímos os valores encontrados na fórmula da integração por partes.

∫ u   d v = u . v -   ∫ v   d u

∫ cos ⁡ w . w   d w = w . s e n   w - ∫ s e n   w   d w

= w . s e n   w - - cos ⁡ w

= w . s e n   w + cos ⁡ w

Colocamos o resultado no lugar de ∫ cos ⁡ w . w   d w :

= 2 . ∫ cos ⁡ w . w   d w  

= 2 . w . s e n   w + cos ⁡ w

  Por fim substituímos w =   x

= 2 . w . s e n   w + cos ⁡ w

= 2 . x . s e n   x + cos ⁡ w x + c

OBS: acrescentamos ao final o C (constante de integração)

Resposta

∫ cos ⁡ x d x       = 2 . x . s e n   x + cos ⁡ w x + c

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Calcule a integral: ∫ s 2 s d s
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