Calcule as integrais.

Passo 1

Geralmente aparecem questões com potências de seno e cosseno, mas agora, temos que o argumento do seno e do cosseno não é o que estamos acostumados a encontrar.

Como estamos como o produto de senos e cossenos, a ideia é tentar tornar esse produto numa soma, usando aquelas regras : s e n a + b = s e n   a   c o s b + s e n b cos ⁡ a e cos ⁡ a + b = c o s a cos ⁡ b - s e n a   s e n b   .

Vamos lá,

Se ligue que

cos ⁡ 3 θ +   3 θ = cos ⁡ 6   θ =   cos ⁡ 3   θ cos ⁡ 3 θ - s e n 3 θ s e n ( 3 θ )

E,

cos ⁡ 3 θ - 3 θ = cos ⁡ 0 =   cos ⁡ 3   θ cos ⁡ - 3 θ -   s e n 3 θ s e n - 3 θ

=     cos ⁡ 3   θ cos ⁡ 3 θ +   s e n 3 θ s e n 3 θ

Somando os dois,

cos ⁡ 6   θ +   cos ⁡ 0 = 2   cos ⁡ 3   θ cos ⁡ 3 θ    

Então,

cos ⁡ 3   θ cos ⁡ 3 θ = 1 2 ( cos ⁡ 6   θ +   cos ⁡ 0 )

Passo 2

Substituindo na integral,

∫ cos ⁡ 3 θ cos ⁡ 3 θ = 1 2 ∫ cos ⁡ 0 + cos ⁡ 6 θ   d θ

Passo 3

Agora é só resolver a integral,

1 2 ∫ cos ⁡ 0 + cos ⁡ 6 θ   d θ = 1 2   ∫ d θ + 1 2 ∫   c o s 6 θ   d θ   = 1 2 θ + 1 12 s e n 6 θ + C  

Resposta

∫ cos ⁡ 3 θ cos ⁡ 3 θ =   1 2 θ + 1 12 s e n 6 θ + C    

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