Enunciado

Calcule as integrais.

Passo 1

Geralmente aparecem questões com potências de seno e cosseno, mas agora, temos que o argumento do seno e do cosseno não é o que estamos acostumados a encontrar.

Como estamos como o produto de senos e cossenos, a ideia é tentar tornar esse produto numa soma, usando aquelas regras : s e n (a + b) = s e n a c o s b + s e n b cos a e cos (a + b) = c o s a cos b - s e n a s e n b .

Vamos lá,

Se ligue que

cos (3 theta + 3 theta) = cos (6 theta) = cos (3 theta) cos (3 theta) - s e n (3 theta) s e n ( 3 theta )

E,

cos (3 theta - 3 theta) = cos (0) = cos (3 theta) cos (- 3 theta) - s e n (3 theta) s e n (- 3 theta)

= cos (3 theta) cos (3 theta) + s e n (3 theta) s e n (3 theta)

Somando os dois,

cos (6 theta) + cos (0) = 2 cos (3 theta) cos (3 theta)

Então,

cos (3 theta) cos (3 theta) = (1)/(2) ( cos (6 theta) + cos (0) )

Passo 2

Substituindo na integral,

int cos (3 theta) cos (3 theta) = (1)/(2) int cos (0) + cos (6 theta) d theta

Passo 3

Agora é só resolver a integral,

(1)/(2) int cos (0) + cos (6 theta) d theta = (1)/(2) int d theta + (1)/(2) int c o s 6 theta d theta = (1)/(2) theta + (1)/(12) s e n 6 theta + C

Resposta

int cos (3 theta) cos (3 theta) = (1)/(2) theta + (1)/(12) s e n 6 theta + C

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