Calcule as integrais.

Passo 1

Se ligue temos uma integral de potências de seno e cosseno, então vamos ter que usar as regras de impar e par e etc.

Nesse caso, temos que a potência do seno é impar, enquanto do cosseno é par, então, vamos escrever a potência impar como para usar a identidade cos 2 ⁡ x   + s e n 2   x = 1 .

Vamos lá,

∫ sin 3 ⁡ x cos 4 ⁡ x   d x = ∫ cos 4 ⁡ x ( 1 - cos 2 ⁡ x )   s e n x   d x = ∫ cos 4 ⁡ x s e n x   d x - ∫ cos 6 ⁡ x   s e n x   d x  

Passo 2

Agora que facilitamos nossas contas, vamos resolver cada uma das integrais, separadamente, blz?

Vamos resolver a primeira integral, ou seja, ∫ cos 4 ⁡ x s e n x   d x .

Perceba que basta fazer uma substituição...em geral esse método é usado para recair numa.

Então é só chamar   u = c o s x   ⟹ d u = - s e n x   d x .

∫ cos 4 ⁡ x s e n x   d x = - ∫ u 4   d u   =   - u 5 5 = - cos 5 ⁡ x 5  

Resolvendo a outra integral, ( ∫ cos 6 ⁡ x   s e n x   d x )

Tomando, mais uma vez u = c o s x   ⟹ d u = - s e n x   d x  

Daí,

∫ cos 6 ⁡ x   s e n x   d x = - ∫   u 6   d x   = - u 7 7 = - cos 7 ⁡ x 7

Passo 3

Substituindo na integral inicial,

∫ sin 3 ⁡ x cos 4 ⁡ x   d x =   ∫ cos 4 ⁡ x s e n x   d x - ∫ cos 6 ⁡ x   s e n x   d x =   - cos 5 ⁡ x 5   +   cos 7 ⁡ x 7 + C

Resposta

∫ sin 3 ⁡ x cos 4 ⁡ x   d x =   - cos 5 ⁡ x 5   +   cos 7 ⁡ x 7 + C

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