Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.

∫ 3 x 5 x 3 + 1 d x  

Passo 1

Vamos começar tentando uma substituição de variável para tentarmos nos livrar desse raiz:

u = x 3 + 1

Derivando dos dois lados:

d u = 3 x 2 d x + 0 = 3 x 2 d x

d u 3 = x 2 d x

Substituindo na integral:

∫ 3 x 5 x 3 + 1 d x = ∫ 3 x 3 x 3 + 1 x 2 d x = 3 ∫ x 3 u ∙ d u 3

Conseguimos substituir o termo x 3 + 1 e x 2 d x , mas falta substituir o termo x 3 , para isso:

u = x 3 + 1 → x 3 = u - 1

Passo 2

Substituindo na integral:

3 ∫ x 3 u ∙ d u 3 = ∫ u - 1 u 1 / 2 d u

Fazendo o chuveirinho:

∫ u - 1 u 1 / 2 d u = ∫ u 3 / 2 - u 1 / 2 d u

Vamos resolver a integral agora:

∫ u 3 / 2 - u 1 / 2 d u = u 3 2 + 1 3 2 + 1 - u 1 2 + 1 1 2 + 1 = 2 5 u 5 2 - 2 3 u 3 2

Temos que fazer a subtituição reversa para resolver o exercício:

2 5 u 5 2 - 2 3 u 3 2 = 2 5 x 3 + 1 5 2 - 2 3 x 3 + 1 3 2 + C

Fim!!!

Resposta

2 5 x 3 + 1 5 2 - 2 3 x 3 + 1 3 2 + C

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