Enunciado

Calcule as integrais nos Exercícios 41-44 alterando a ordem de integração de maneira apropriada.

∫ 0 4   ∫ 0 1   ∫ 2 y 2   4 c o s ⁡ x 2 2 z d x d y d z

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Considere a integral tripla:

∫ 0 4   ∫ 0 1   ∫ 2 y 2   4 c o s ⁡ x 2 2 z d x d y d z

Agora iremos alterar a ordem de integração para resolvê-la de forma mais conveniente.Acompanhe com atenção!

Passo 2

A integral pode ser reescrita como:

∫ 0 4   ∫ 0 2   ∫ 0 x / 2   4 c o s ⁡ x 2 2 z d y d x d z

Passo 3

Sendo assim, integrando em y :

  ∫ 0 4     ∫ 0 2     4 c o s ⁡ x 2 2 z [ y ] 0 x / 2 d x d z   ∫ 0 4     ∫ 0 2     4 c o s ⁡ x 2 2 z x 2 d x d z   ∫ 0 4     ∫ 0 2     x c o s ⁡ x 2 z d x d z

Passo 4

Integrando em x :

  �� 0 4     s e n ⁡ x 2 2 z 0 2 d z   ∫ 0 4     s e n ⁡ ( 4 ) 2 z - 1 / 2 d z

Passo 5

E finalmente integrando em z:

s e n ⁡ ( 4 ) 2 z 1 / 2 0 4 s e n ⁡ ( 4 ) z 1 / 2 0 4 2 s e n ⁡ ( 4 )

Resposta

Portanto, chegamos à conclusão de que o valor da integral é 2 s e n ⁡ ( 4 ) .

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