Enunciado

Encontre os volumes das regiões nos Exercícios 23-36.

A região no primeiro octante delimitada pelos planos coordenados, o plano y + z = 2 e o cilindro x = 4 - y 2

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício, a interpretação do problema pode ser expressa através da seguinte integral tripla:

∫ 0 4   ∫ 0 4 - x   ∫ 0 2 - y   d z d y d x

Sendo assim, resolvendo a integral é possivel determinar o volume do espaço desejado. Vamos lá?

Passo 2

Primeiro passo, integrando em z:

∫ 0 4   ∫ 0 4 - x   2 - y d y d x

Passo 3

Agora integrando em y:

  ∫ 0 4     2 y - y 2 2 0 4 - x d x   ∫ 0 4     2 4 - x - 4 - x 2 d x

Passo 4

E finalmente integrando e m x , teremos:

- 4 3 ( 4 - x ) 3 2 + 1 4 ( 4 - x ) 2 0 4 = 4 3 ( 4 ) 3 2 - 1 4 ( 16 ) = 20 3

Resposta

Você chegará à conclusão que o volume é igual a 20/3.

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Calculer) int int int_B (y - x) * d x * d y * d z onde B é o conjunto 4 = x + y = 8 , (1)/(x) = y = (2)/(x) , y = x e 0 = z = ((x * y)^((1)/(3)))/(sqrt(x + y)) .
Calculep) int int int_B 2 * z * d x * d y * d z onde B é o conjunto 4 * x^2 + 9 * y^2 + z^2 = 4 , z = 0 .
Calculeo) int int int_B 2 * z * d x * d y * d z onde B é o conjunto x^2 + y^2 + z^2 = 4 , z = 0 .
Calculei) int int int_B x * d x * d y * d z onde B é o conjunto x^2 + y^2 = 4 , x = 0 e x + y = z = x + y + 1 .
Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)h) x 2 + y 2 ≤ z ≤ 4 ⋅ x + 2 ⋅ y .