Enunciado

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Calcule a integral

∫ 1 3 1 + x 2 x 2 d x

Passo 1

Bom galera, nesse exercício iremos utilizar as técnicas de integração estudadas e as estratégias abordadas nesse capítulo para resolver a integral. Dessa forma, queremos encontrar o resultado para a integral da maneira mais prática de acordo com as técnicas de integração deste capítulo.

Passo 2

Utilizando a seguinte substituição trigonométrica, temos

x = tan ⁡ θ ; d x = sec 2 ⁡ θ d θ

∫ 1 3 1 + x 2 x 2 d x = ∫ π / 4 π / 3 sec ⁡ θ tan 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ

Podemos simplificar a integral utilizando as relações trigonométricas, ficando com

∫ π / 4 π / 3 sec ⁡ θ tan 2 ⁡ θ + 1 tan 2 ⁡ θ d θ =   ∫ π / 4 π / 3 sec ⁡ θ + csc ⁡ θ cot ⁡ θ d θ

Passo 3

Resolvendo a integral, temos

∫ π / 4 π / 3 sec ⁡ θ + csc ⁡ θ cot ⁡ θ d θ = ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ - csc ⁡ θ π / 4 π / 3 = 2 - 2 3 + ln ⁡ 2 + 3 - ln ⁡ 1 + 2

Resposta

∫ 1 3 1 + x 2 x 2 d x = 2 - 2 3 + ln ⁡ 2 + 3 - ln ⁡ 1 + 2

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