Calcule a integral

∫ x e x d x

Passo 1

O enunciado pede pra a gente calcular a seguinte integral:

∫ x e x d x

Pra facilitar vamos usar a seguinte substituição:

y = x

d y = 1 2 x d x

Temos então:

∫ x e x d x =   ∫ y e y 2 y d y

Passo 2

Para resolver essa integral vamos utilizar a integração por partes:

∫ 2 y 2 e y d y

u = 2 y 2 → d u = 4 y   d y

d v = e y d y → v = e y

Dessa forma temos:

2 y 2 e y - ∫ 4 y e y   d y

Temos agora:

u = 4 y → d u = 4

d v = e y d y → v = e y

Então:

∫ 4 y e y   d y = 4 y e y - ∫ 4 e y   d y

Juntando tudo:

∫ 2 y 2 e y d y = 2 y 2 e y - 4 y e y - ∫ 4 e y   d y

= 2 y 2 e y - 4 y e y + 4 e y + C

Resposta

∫ x e x d x = 2 x 2 - 2 x + 2 e x + C

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